成都四中2019年外地生招生考试数学试题
一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分）
01、若一个三角形有一个角为30︒（）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、不能确定02、若二次函数22()9y x h =--+，当5x ≤时，y 随x 的增大而增大，则h 的取值范围是（）
A 、5h =
B 、5h >
C 、5h ≥
D 、5
h ≤03、如图，已知ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是AC 上一点，12cos 13A =，4tan 3BDC ∠=，11AD =，求BC 的长为（
）A 、6
B 、203
C 、22
3D 、8
04、石室中学文庙校区一共有在校学生1732人，现学校要通过电话将一个紧急通知尽快通知到所有学生，每个电话通知需要2分钟时间，同学接到电话可以相互通知，若假设每次电话都正常接通，你作为学生会主席，设计最优的通知方案，能使所有同学都接到通知需要的时间为（
）A 、20分钟B 、22分钟C 、24分钟
D 、26分钟05、试估算6
的大致范围（）
A 、800850
B 、850900
C 、900950
D 、9501000 06、如图，AB 是O 的直径，点C 为左半圆上一点，CAB ∠的平分线与圆交于点D ，连接CB 交AD 于点N ，若
ND NB =时，则cos ADC ∠的值为（）
A 、35
B 、4
5
C D
07、试化简
的结果为（）
A B 、+C D 08、在矩形ABCD 内取一点N ，使得NA a =，NB b =，NC c =，若a b c 、、满足222a c b =-，
则ND 的值为（
）A B 、C D )a b c +-
09、求使222160220193906(39)(39)a
a a a a a -+--=--成立的整数a 的个数为（）A 、3B 、4C 、5D 、6
10、关于x 的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图像与x 轴交于A B 、两点，若(3)M m -，为该抛
物线上一点，求当90AMB ∠=︒时，a 的值为（
）
A 、3
B 、
C 、1
3
D 、3二、填空题：（本题共8小题，每小题6分，共48分）
11、若点12373(5)()()22
A y
B y
C y --，、、，为二次函数224y x x c =++（c 为常数）的图像上的三点，则123y y y 、、的大小关系是__________.
12、在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，取AB 中点M ，连接CM ，若ABC ∆周长为30，CM 长度
为7，求此三角形面积为________.
13、若对于任意实数x ，代数式2
523c x x c ++-总有意义，则c 的取值范围是________.14、关于x 的方程2x ax b =+可以表示为()()0x a x b ++=，求满足条件的a 和b 的值_____.
15、将一个平行四边形放入平面直角坐标系中，它的四个顶点坐标表示信息如下：
(80)(04)()()A B C n n D a b -，、，、，、，，其中a b n 、、为任意满足条件的实数，则线段CD 长的最小值为________.
16、如图，在ABC ∠内部有一点M ，过M 作MA //BC
交AB 边于点A ，作MC //BC 边交AB 于点C ，若
45ABC ∠=︒，AB =，6BC =，点D 为AB 的
中点，点P 为线段BC 上一动点，连接DP ，将线段
DP 绕点D 逆时针旋转90︒至'DP ，连接''MP CP 、，则'+'MP CP 的最小值是______.
17、如图，将等腰直角三角形AOC 和有一个锐角（B ∠）为30︒的Rt AOB ∆的一条长为2的
直角边AO 重叠摆放后，把Rt AOB ∆绕直角顶点O 按顺时针方向旋转，使斜边AB 恰好经过等腰直角三角形的顶点C ，得''A OB ∆，AB 分别与'''A B A O 、相交于点D E 、，那
么此时四边形OCDE 的面积为________.
18、由平方非负性可知，对于任意正实数a b 、均有2
0≥，即a b +≥当a b
=时等号成立.请用此原理解决如下问题：如图，已知直线22AB y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，N 为反比例函数9y x
=第一象限图像上任意一点，过点N 作ND y ⊥轴于点D ，则五边形ABCND 的最小值为__________.
三、解答题：（本大题共5小题，共52分）
19、（10分）（1）如图所示是某篮球队员进行投篮训练时篮球运行轨迹在平面直角坐标系中
的示意图，在地面O A 、两个视频拍摄点测得篮筐C 的仰角分别为αβ、，已知1OA =，9tan 28α=，3tan 8β=，该篮球队员在O 点正上方53
的D 点处向篮筐C 进行投篮.若该篮球运动轨迹为开口向下的抛物线，且运行达到地面最大高度3时，相应的水平距离为4（即图中E 点）.请问本次投篮是否能投中，并用学过的数学知识说明理由.
（2）对于命题“若01x <<1+”的求证，我们可以利用不等式的性质再结合x 的取值范围进行讨论，但很困难.我们也可以借助“数形结合”巧妙的完成证明.比如，作边长为1的正方形ABCD ，如图所示，在BC 上任取一个
点M ，连接AM DM 、，令BM x =，则1MC x =-，且AM MC AC +>=在BMD ∆
中，BM DM BD +>=，()()AM MC BM MD ∴+++>
)()AM MD BM MC ∴+++>（1AM MD ∴+>，
1，证毕.
请用上述方法完成下列命题的证明：
若a b 、是正数，且a b ≠a b <-.
20、（10分）如图1，是石室中学纪念“文翁兴学”2160周年系列活动的会标，此会标整体
轮廓关于直线l 左右对称设计.如图2，分别连接关键点A E 、和D J 、，延长线段AE ，DJ 与顶端水平线交于B C 、两点，M 为直线l 与线段BC 交点.测得
2224BC AB AD CD ====.
（1）试判断CDM ∆的形状，并予以证明；
（2）现需在点M 处对称的安装两盏完全相同的射灯，分别向左下方和向右下方照亮会标，照射范围分别为AEMF 和DJMK ，已知此种射灯的照射广角60EMF KMJ ∠=∠=︒，能否分别绕M 点调试旋转照射广角EMF ∠和KMJ ∠位置，使得照射范围内的“亮点三角形”AEF ∆与DJK ∆的周长之和最小，请说明理由；若存在，请计算出最小值.
21、（12分）如图，P 为⊙O 外一点，点M 为⊙O 上任意一点，过圆心的射线PO 与圆交
与A B 、两点，
射线PD 与⊙O 相切于点D ，过点D 作弦CD AB ⊥于点H ，在圆上点C 右侧取点E ，使点C 恰好为弧AE 中点，连接AE ，分别与BC 交于点F ，与CD 交于点G ，连接OG ，8AE =，2AH =.
（1）试判断线段OG 与BF 的位置和数量关系，并说明理由；
（2）求证：BF DH BC EF ⋅=⋅；
（3）连接MH PM 、，试探究M 在不同位置时:HM PM 的变化规律.
22、（10分）已知抛物线22y mx mx n =-+交x 轴于不同的12(0)(0)A x B x ，、
，两点，交y 轴的
负半轴为C ，其中A 点为x 轴的负半轴上，O 为直线坐标系原点，并且
OB OA OC OC
-=.（1）求n 的值；
（2）若221220x x +=，求抛物线的表达式；（3）在y 轴右侧，（2）中抛物线上是否存在点D ，使得A B D 、、为顶点的三角形与ABC ∆相似？若存在，求出点D 坐标，若不存在，请说明理由.
23、（10分）如图所示，⊙O 与C ∠两边分别相切于点P Q 、两点，⊙O 一条直径所在的直
线与C ∠的两边交A B 、两点，=ABC CAB α∠∠=.点D 是射线CA 上的一个动点，过点D 作DE 与圆O 相切于点M ，与射线CB 交于点E ，连接OE .
（1）试用含α的代数式表示POQ ∠的大小；
（2）试判断DOE ∠的大小是否保持不变，并说明理由；
（3）设3tan 4α=，AB m =，AD x =，DE y =，求y 关于x 的函数表达式.。