这里的每条规则推得的输出是一个通 过代数积把激活强度按比例进行缩减 的模糊集合。
因为对象都采用精确值作为输入，故需使用一个解模糊器把模糊集合转换成精确值。最常 用的解模糊方法是重心法，定义如下： 其中 c ( z) 为总隶属函数。
'
3.2.2
Takagi-Sugeno模糊系统
前面定义的模糊系统称为“标准模糊系统”。现在定义一种“函数模糊系 统”，并讨论它的一种特例——Takagi-Sugeno模糊系统。
那么，cf1 , c R, f1 ( x) f 2 ( x), f1 ( x) f 2 ( x)分别是
因为隶属函数是高斯型 的，它们的乘积也是高 斯型的，所以 cf1 , f1 ( x) f 2 ( x), f1 ( x) f 2 ( x) 仍然保持模糊系统的形 式（ 3 - 7），即cf1 Y, f1 ( x) f 2 ( x) Y, f1 ( x) f 2 ( x) Y。
第三章 模糊建模和模糊辨识
3.1.引言 3.2.模糊模型的类型与分割形式 3.3. 模糊系统的通用近似特性
3.4. 模糊辨识的数据选择
3.5.模糊辨识和估计的最小二乘算法 3.6.模糊辨识和估计的梯度法 3.7.模糊的聚类法 3.8.复合法
3.1.引言
模糊推理系统的基本结构从概念上分为三部分：规则 库、数据集和推理机构。规则库包含一系列规则；数据集 定义模糊规则中用到的隶属函数类型及参数；推理机构按 照模糊推理原理完成给定条件和规则的推理过程以获得一 个合理的输出或结论。
3.3.2
模糊系统的通用逼近性
模糊系统具有非常强的函数近似功能。模糊系统可以用模糊基函数的线性组合来 描述，它能够用来辨识和控制的前提是能逼近任意连续实函数，下面是其理论证明。
定理3.1 （Stone Weierstrass）定理 假设Z是一个在紧密集论域 U上的连续实函数的集合 ，如果 (1) Z对加法、乘法和数乘运 算是封闭的； (2)对于任意x, y U , x y, 存在f Z，使得f ( x) f ( y ); (3)对每个x U , 存在f Z , 使得f ( x) 0。 那么，Z的一致闭包包含 U上所有的连续实函数， 即( Z, d )在(C[U ], d )中是密集的。 其中d ( f1 , f 2 ) sup (| f1 ( x) f 2 ( x) |)是无穷大范数， C[U ], d 为一个赋范空间， C[U ]
3.2.3
Tsukamoto模糊模型
在Tsukamoto模糊模型中，每条模糊if-then规则的结论可由一个具有单调隶属 函数的模糊集合表示，如图3-3所示。因此，每条规则推得的输出可定义为由规则 的激活强度产生的精确值。总的输出可以取每条规则输出的加权平均值。图3-3说 明了一个双输入、双规则系统的全部推理过程。 既然每条规则都推导出了一个精确输出， Tsukamoto模糊模型通过加权平均的 方法把每条规则的输出集成起来，这样就避免了耗时的解模糊过程。
中，反之亦然。人们更 希望二者不完全相同， 这样可以更真实地评价 近似的准确性。我们
从本质上讲，只有式（ 3 - 15 ）和式（ 3 - 10）的结果足够小，才能 保证函数近似的准确性 。 但是因为对所有可能的 输入点测试，就无法完 全保证可以用 f表示g。特别强调的是所选 择函数f的类型对最终的函数近 似准确性有很大影响。
当x分别取x0和y 0时，f ( x0 )和f ( y 0 )可根据式（ 3 - 7）求得，即
2 ( xi0 yi0 ) 因为x y , 总有某个i, x y , 使得 exp[ ] 1, 1 。只要选择z 0, z 1, 2 那么f ( x 0 ) 1 , f ( y 0 ) ,即f ( x 0 ) f ( y 0 ) 0 0 0 i 0 i
其中x(t ) [ x1 (t ), x2 (t ),...,xn (t )]T 是n维状态（这里 n可以不是输入的个数） ; u (t ) [u1 (t ), u2 (t ),...,um (t )]T 是m维模型输入； A i和Bi , i 1,2,...,R, 是适当维的状态和输入 矩阵；z (t ) [ z1 (t ), z2 (t ),...,z p (t )]T 是p维 的模糊系统输入。此 T - S模糊系统以z (t )作为输入，单输出
式中j 1,2,...,M ( M是规则数)；Ai j 是xi的模糊集合，隶属函数 为 A j ( xi ), i 1,2,...,n; B j 是y的
i
模糊集合，隶属函数为 B j ( y )。假设输入变量模糊集 合的隶属函数为高斯函 数，即
输出变量的隶属函数为 单一模糊化（ Singleon ） ,即
3.3 模糊系统的通用近似特性
3.3.1 模糊基函数
考虑一个MISO模糊系统，它的输入变 量为x1 , x2 ,..., xn , 用向量x [ x1 , x2 ,..., xn ]T 表示，x的 论域是实空间上的紧密 集，即x U R n , 模糊系统的输出变量为 y, y的论域是实数域上的 紧密集，即y V R n , 模糊规则的一般形式为
其中M 表示测试集合中已知的 输入 - 输出数据的数目。注意 ：中的数据不一定包含在 G 不知道对于每个 x X用测试集合计算的函数ห้องสมุดไป่ตู้ ( x)和模糊系统f ( x | )之间的估计误差能否 和g ( x)和f ( x | )之间的真实测量误差相 同，但是这是利用已知 信息所唯一能做的，因 此用 来测量估计误差。
j
3.3.3
用于函数近似的模糊系统求解
“通用近似性质”只是保证存在一种方法来定义一个模糊系统f(u)(如通 过选择隶属函数的参数)，也就是说，只是保证了存在这样一个模糊系统，但 是没有说明如何去发现这个模糊系统，而这往往又是非常困难的。进一步的 研究显示，实现任意精度的近似意味着需要任意多的规则。 1.模糊系统求解 模糊系统的通用近似性质的价值只是说明如果在调整参数时比较恰当， 应该能够满足要求的模糊系统。尤其是对于控制，这意味着在用模糊控制器 实现非线性函数时有很大的灵活性。不过一般来讲，通过适当调整给定的模 糊控制器不能保证一定满足稳定性和性能指标，还需要选择合适的控制器输 入和输出，这是因为对于某些对象，无论如何努力地调整模糊控制器（如非 最小相位系统所能取得性能指标就有某些限制），模糊系统会存在一些根本 的限制，使它无法达到某些控制目标。
图3-3 Tsukamoto模糊模型
3.2.4 模糊模型的分割形式
图3-4 输入空间的不同分割方法
三分割如图（b）所示，它显示了一个典型 的三分割，这里每个区域通 过相应的决定数被唯一指定。三分割可解决规则数按指数增长的问题。不 过为了定义这些模糊区域的每个输入需要定义更多的隶属函数，并且这些 隶属函数通常没有清楚的语言意义，比如“小”和“大”等。 散开分割如图（c）所示，通过覆盖整个输入空间的一个子集，也就是 输入向量可能发生的区域，散开分割可以把规则数限制到一个合理的数量 上。
(3)最后证明 (Y , d )对U中的任何x都有f , 使得f ( x) 0。 假设x 0 U , 权值修改公式如下：
其中， i F0i F ( si ), F0i 为应有的输出， F ( si )和 | A* | c为综合聚类神经元数， 只要选择所 有的z 0( j 1,2,...,M ), 就可以使f ( x 0 ) 0, 因此这样的f是存在的。 因为FBF是连续实函数， f ( x)作为FBF的线性展开式也是连续 实函数。Y是在紧密集U R n 上的一个连续实函数的 集合，并且满足以上三 个条件，根据 Stone Weierstrass定理，Y包含 U上的所有连续实函数。 所以，总有f(x) 能以任意精度逼近紧密 集U上的任意连续实函数 g(x)
对于函数模糊系统，采用单一模糊化，第i条MISO形式的规则为
对于一个函数模糊系统，可以采用适当的操作（如最小化或乘积）来表示条件，按式 （3-2）进行解模糊，即
其中定义 这里假设函数模糊系统是恰当定义的，使得无论输入为何值，都满足

i 1
R
i
0
T-S模糊系统可以用任何线性映射作为输出函数。把一个线性动态系统作 为输出函数的映射，这样第i条规则的形式如下：
定义3.1 如果
存在，定义为估计误差 的上限。根据这个定义 ，要求g完全已知，但是这正是 所要求解 的，由于只知道一个有 限的数据集合 G，因此只能在由某些输 入 - 输出数据集合给出的 一些点，通过计算 g ( x)和f ( x | )之间的误差来评价估计 的准确性。这些输入- 输出数据 集合称为测试集合，用 表示，即
xU
是U上所有连续函数的集合 。 定理3.2FBF展开式的通用逼近性 假设Y是所有FBF展开式（ 3 - 8）的集合，FBF的定义见式（ 3 - 9） .对于在紧密集U R n 上的任何给定的连续实 函数g和任何 0, 都存在f Y , 使得
证明 (1)首先证明 (Y , d )对代数运算的封闭性。 假设f1 , f 2 Y , 它们可以表示为
2.辨识，估计和预测之间 的关系 模糊系统f ( x | )定义如下：
令N q p 1, x(k )和是N 1维向量。 类似于传统的线性系统 辨识，对于模糊辨识， 在式（ 3 - 18）定义一个合适的递归 向量x, 通过调节模糊系统 f ( x | )使得e( x)减小。因为模糊系统 f ( x | )比线性系统具有更好的 函 数近似能力，适当调节 模糊系统的参数可以更 准确地完成非线性系统 的辨识。
(2)其次证明 (Y , d )可以分离U中的元素。 假设任意x 0 , y 0 U , x 0 y 0 , 要构造一个f Y , 使得f ( x 0 ) f ( y 0 )。设计只有2条规则，即