1. 已知动直线 l 与椭圆 C:x 2 y 2 1 交于 P x 1 , y 1 、 Q x 2 , y 2 两不同点，且△ OPQ的3 2面积S OPQ= 6, 其中 O 为坐标原点 .2（Ⅰ）证明 x 12 x 22 和 y 12 y 2 2 均为定值 ;（Ⅱ）设线段 PQ 的中点为 M ，求 |OM | | PQ | 的最大值；（Ⅲ）椭圆 C 上是否存在点D,E,G ，使得S ODE S ODG S OEG6 ?若存在，判断△2DEG 的形状；若不存在，请说明理由 .2. 如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O ，长轴左、右端点 M ，N 在 x轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN ，且 C1， C2的离心率都为 e ，直线 l⊥MN ， l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A ， B ， C ， D.（I ）设 e1，求 BC 与 AD 的比值；2（II ）当 e 变化时，是否存在直线 l ，使得 BO ∥ AN ，并说明理由3. 设，点 A 的坐标为（ 1,1 ），点 B 在抛物线 y x 上运动，点 Q 满足 BQ QA ，经过 Q 点与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M ，点 P 满足 QM MP , 求点 P 的轨迹方程。
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ，B 点在直线 y = -3 上， M 点满足 MB//OA ， MA ?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。
（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。
5. 在平面直角坐标系xOy 中，点 P( a,b) (a b 0) 为动点， F1 ,F2x2 y 21 分别为椭圆b2a2的左右焦点．已知△F1 PF2为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率 e ；（Ⅱ）设直线 PF2与椭圆相交于A, B两点，M是直线 PF2上的点，满足AM BM 2 ，求点 M 的轨迹方程．6. 已知抛物线C1: x2y ，圆 C2: x2( y 4) 21的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线c1的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线c1上一点（异于原点），过点 P 作圆c2的两条切线，交抛物线 c1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l 的方程7. 如图 7，椭圆C1:x2y2 1(a b 0) 的离心率为 3 ， x 轴被曲线a2 b2 2C2 : y x2 b 截得的线段长等于 C1的长半轴长.求 C1， C2的方程；设 C2与y轴的交点为M，过坐标原点 O 的直线l 与C2相交于点 A ， B ，直线 MA ， MB 分别与C1 相交于点 D ，E .( ⅰ) 证明：MD ME ;(ⅱ)记MAB , MDE 的面积分别为S1 ,S2，问：是否存在直线l ，使得S1 17？请说明理由. S2 321. 已知 直 l 与 C:x 2 y 2 1交于 P x 1 , y 1 、 Q x 2 , y 2 两不同点，且△ OPQ 的3 2面S OPQ=6, 其中 O 坐 原点 .2（Ⅰ） 明 x 12x 22 和 y 12 y 22均 定 ;（Ⅱ） 段 PQ 的中点 M ，求 |OM | | PQ | 的最大 ；（Ⅲ） C 上是否存在点 D,E,G ，使得 S ODESODGSOEG6?若存在，判断△2DEG 的形状；若不存在， 明理由.【解析】（ I ）解：（ 1）当直 l的斜率不存在 ， P ，Q 两点关于 x 称，所以x 2 x 1, y 2y 1. 因 P( x 1 , y 1 ) 在 上，因此x 12y 12①312又因S OPQ6| y 1 | 6| x 1 |6, 所以 | x 1 | 2 . ②；由①、②得 ,| y 1 | 1.22此 x 12x 223, y 12 y 22 2,（ 2）当直 l 的斜率存在 ， 直 l 的方程 y kx m,由 意知 m0 ，将其代入 x 2y 2 1，得 (2 3k 2 ) x 2 6kmx 3(m 2 2) 0 ，3 2其中36k 2 m 2 12(2 3k 2 )(m 2 2) 0,即 3k 22 m 2⋯⋯⋯⋯（ * ）又x 1 x 26km2, x 1x23(m 2 2) 2 3k2 3k 2,所以 | PQ | 1 k2( x 1 x 2 )24x 1 x 21 k22 6 3k 22 m 2 ,2 3k 2因 点 O 到直 l 的距离 d| m |1 | PQ | d1所以 S OPQ2k 2 ,1 1 k2 2 6 3k 2 2 m 2| m | 6 | m | 3k 2 2 m 2，又22 3k 21 k 22 3k 26SOPQ2 ,整理得 3k 22 2m 2 ,且符合（ * ）式，2 2( x 1x 2 ) 22x 1 x 2 (6km2)23(m 2 2) 3,此时 x 1x 22 3k22 3k 2y 12 y 222(3 x 12)2(3 x 22) 4 2(x 12 x 22 ) 2.33 3综上所述， x 12 x 22 3; y 12y 222,结论成立。
（ II ）解法一：（ 1）当直线 l 的斜率存在时，由（ I ）知|OM || x 1 |6,|PQ|2 | y 1 | 2,2因此|OM ||PQ|6 2 6.2（ 2）当直线 l 的斜率存在时，由（ I ）知x 12 x 23k ,2my 1 y 2 k(x 12 x2) m3k2m3k 2 2m 2 ,22m2mm2x 1x 2) 2( y 1 y 2 ) 2 9k 21 6m2 2 1(31|OM| (2 22m 222 2 ),4m4mm2(12) 24(3k 2 2 m 2 )2(2m 2 1)2(21 |PQ |k(23k 2 ) 22 m 2 ),m所以| OM |2|PQ|21 (312 )2 (212 )(312 )(212 )2mmmm1213m 225(m 2) 224所以|OM ||PQ| 5 31 212 时，等号成立 .2 ，当且仅当 m 22 ,即 mm 综合（ 1）（ 2）得 |OM| · |PQ| 的最大值为 5.2 解法二：因为 4|OM |2| PQ|2 ( x 1 x 2 )2 ( y 1 y 2 ) 2 ( x 2x 1) 2 ( y 2 y 1 )22[( x 12 x 22 ) ( y 12 y 22 )]10.所以2|OM | |PQ|4|OM |2|PQ|2 10 5.25即|OM || PQ | 5,当且 当2|OM | |PQ|5 等号成立。
2因此 |OM| · |PQ| 的最大5.2（ III ） C 上不存在三点 D ， E ， G ，使得 S ODESODGSOEG6 .2明：假 存在D (u, v), E(x 1, y 1 ), G ( x 2 , y 2 ) 满足 S ODESODGSOEG6，2由（I ）得u 2 x 12 3,u 2 x 22 3, x 12x 223;v 2 y 12 2,v 2 y 22 2, y 12 y 222,解得 u 2 x 12x 22 3 ; v 2 y 12 y 22 1.2因此 u, x 1 , x 2 只能从 5中选取 ,v, y 1 , y 2 只能从 中选取,21因此 D ， E ， G 只能在 (6 , 1) 四点中 取三个不同点，2而 三点的两两 中必有一条 原点，与SODESODGSOEG6矛盾，2所以 C 上不存在 足条件的三点 D ， E ， G.2. 如 ，已知 C1的中心在原点 O ， 左、右端点 M ， N 在 x 上， C2 的短MN ，且 C1，C2 的离心率都 e ，直 l ⊥ MN ， l 与 C1 交于两点，与C2交于两点， 四点按坐 从大到小依次 A ， B ， C ， D.（I ） e1，求 BC 与 AD 的比 ；2（II ）当 e 化 ，是否存在直 l ，使得 BO ∥ AN ，并 明理由解：（ I ）因 C 1， C 2 的离心率相同，故依 意可C 1 : x 2y 21,C 2 : b 2 y 2x 21,( a b 0)a 2b 2a 4a 2直l : x t (| t | a) ，分 与 C 1， C 2 的方程 立，求得A(t ,aa2t 2), B(t,ba 2 t 2 ).⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分ba当e 1 3时 , b a, 分别用 y A , y B表示A，B的坐，可知2 22 | y B | b2 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分|BC|:| AD |a2 .2 | y A | 4（ II ）t=0 的l 不符合意 . t 0 ，BO//AN当且当BO的斜率k BO AN与 AN的斜率k相等，即b a2 t 2 a a2 t2a b ,t t a解得 tab 2 1 e2a. a2 b2 e2因 | t | a, 又 0 e 1,所以 1 e2 1,解得 2 e 1.e2 2所以当 0 e2，不存在直l ，使得BO//AN；2当21，存在直l 使得BO//AN. 2e3. ，点 A 的坐（1,1），点 B 在抛物y x 上运，点Q足 BQ QA，Q 点与x垂直的直交抛物于点M ，点P足QMMP, 求点 P 的迹方程。
【命意】：本考直和抛物的方程，平面向量的概念，性与运算，点迹方程等基本知，考灵活运用知探究和解决的能力，全面考核合数学素养。
uuur uuurx 的直上，故可P( x, y)，【解析】：由 QM MP 知Q,M,P三点在同一条垂直于Q( x, y ) ， M (x, x ) ，x y ( y x ) ，即y x( y x ) ()x y①uuur uur( x, y ) ，解得再设 B(x , y ) ,由BQ QA，即 (x x , y y )x () x②y () y将①代入②式，消去y 得x ( ) x③y ( ) x ( ) y又点 B 在抛物线y x 上，所以 y x ，再将③式代入得( ) x ( ) y [( )x ] ，即( ) x ( ) y ( ) x ( ) x，即( )x ( ) y () ，因为，等式两边同时约去 ()得x y这就是所求的点P 的轨迹方程。
【解题指导】：向量与解析几何相结合时，关键是找到表示向量的各点坐标，然后利用相关点代入法或根与系数关系解决问题，此外解析几何中的代数式计算量都是很大的，计算时应细致加耐心。
4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ，B 点在直线 y = -3 上， M点满足 MB//OA， MA ?AB = MB?BA， M点的轨迹为曲线 C。