高三数学专题外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ） A ．B ．C ．D ．2．补形法（补成长方体）例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 ． 3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ．B ．C ．D ．一、单选题1．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）20π24π32π图2图3P ABC -ABC △BA BC ==π2ABC ∠=16π16π332π324π48πA ．12πB ．28πC ．44πD ．60π3．把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接 球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．ABCD ABC ⊥ADC D ABC -32π27π22πa 23πa 24πa A BCD -AB ⊥BCD 2BC BD ==2AB CD ==32π60π64π1111ABCD A B C D -S ABCD-9π1625π1649π1681π167．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，在中，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．10．四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为（ ）A ．BC ． D11．将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．12．在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球ABC 12R 2AB AC ==120BAC ∠=︒16π916π364π964π3P ABCD -ABCD 50336πABC △AB BC ==90ABC ∠=︒ABD △PBD △PC PD =P BCD -A BCD -60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒3AB =2CB DB ==19π2ABC △120BDC ∠=︒A B C D 、、、7π213π213π3A BCD -6AB CD ==5AC BD AD BC ====的表面积为（ ）ABC ．D ．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．15．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于______．16．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为_____． 1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ） A ． B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ． 2．补形法（补成长方体）例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 ．43π243π111ABC A B C -2AB =1AC =60BAC ∠=︒A BCD -AB AC =DB DC =4AB DB +=AB BD ⊥A BCD-图2图3图4【答案】【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==． 3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ． B ．16πC ．16π3D ．32π3【答案】D【解析】因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是12r =的半径是，球心到该底面的距离，如图，则1632ABC S =⨯=△，BD 116336ABC V S h h ==⨯=△，最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2233R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是3432ππ33R =，故答案为D ．一、单选题1．棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．24πD ．48π【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为，由题意可知：()222222R =++，则：23R =，该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==⨯=．本题选择B 选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为面积为（ ） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为，由正弦定理可得：2r 2r =， 设外接球半径为，结合三棱柱的特征可知外接球半径22227R =+=，外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项．3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π B ．27πC ．D ．【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ， 则三棱锥D ABC -的外接球直径为AC =24π18πR =，故选C ． 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）A ．B ．22πaC ．23πaD ．24πa【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为 的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2R R =⇒，所以该几何体外接球面积2224π4π3πS R a ⎫==⨯=⎪⎪⎝⎭，故选C ．5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，2AB CD == ）A ．B ．32πC ．60πD ．64π【答案】D【解析】因为2BC BD ==，CD =(222221cos 2222CBD +-∠==-⨯⨯，2π3CBD ∴∠=， 因此三角形BCD 外接圆半径为122sin CDCBD=∠，设外接球半径为，则222=2+412162AB R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2=4π64πS R ∴=，故选D ．6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点，，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．9π16B ．25π16C ．49π16D ．81π16【答案】D【解析】如图所示，连结11A C ，11B D ，交点为，连结SM ，易知球心在直线SM 上，设球的半径R OS x ==，在1Rt OMB △中，由勾股定理有：22211OM B M B O +=，即：()2222x x -+=⎝⎭，解得：98x =，则该球的表面积229814π4ππ816S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．本题选择D 选项．7．已知球的半径为，，，三点在球的球面上，球心到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球的表面积为（ ）A ．16π9B ．16π3C ．64π9D ．64π3【答案】D【解析】由余弦定理得：BC ==设三角ABC 2r =，则2r =，又22144R R =+，解得：2163R =，则球的表面积2644ππ3S R ==．本题选择D 选项． 8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点 在底面的射影是底面的中心)503，则此球的体积为（ ）A ．B ．C ．36πD ．【答案】C 【解析】如图，设正方形ABCD 的中点为，正四棱锥P ABCD -的外接球心为， EA ∴正四棱锥的体积为503，215033P ABCD V PE -∴=⨯⨯=， 则5PE =，5OE R ∴=-，在AOE △中由勾股定理可得：()2255R R -+=，解得3R =，34π36π3V R ∴==球，故选C ．9．如图，在ABC △中，AB BC ==90ABC ∠=︒，点为的中点，将ABD △沿折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形，且BD ⊥平面PCD ， 设三棱锥P BDC -外接球的球心为，PCD △外接圆的圆心为，则1OO ⊥面PCD ，∴四边形1OO DB 为直角梯形，由BD11O D =，及OB OD =，得OB =R =∴该球的表面积274π4π7π4S R ==⨯=．故选A ． 10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（ ）A ．19π2BC ．D 【答案】A【解析】由题意，BCD △中，2CB DB ==，60CBD ∠=︒，可知BCD △是等边三角形，BF =∴BCD △的外接圆半径r BE ==，FE ， ∵60ABC ABD ∠=∠=︒，可得AD AC =可得AF =∴AF FB ⊥，∴AF BCD ⊥，∴四面体A BCD -高为AF =设外接球，为球心，OE m =，可得：222r m R +=……①， )222πEF R +=……②由①②解得：R =2194ππ2S R ==．故选A ． 11．将边长为2的正ABC △沿着高折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A ．7π2B ．C ．13π2D ．13π3【答案】B【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=︒， 底面三角形的底面外接圆圆心为，半径为，由余弦定理得到BC =21r r =⇒=， 见图示：是球的弦，DA =的位置，∴OM =OMD 中，应用勾股定理得到，即为球的半径．∴球的半径OD =．该球的表面积为24π7πOD ⨯=；故选B ． 12．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C ．43π2 D ．43π【答案】D【解析】分别取，的中点，，连接相应的线段，，， 由条件，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，可知，ABC △与ADB △，都是等腰三角形，AB ⊥平面ECD ，∴AB EF ⊥，同理CD EF ⊥，∴是与的公垂线， 球心在上，推导出AGB CGD △≌△，可以证明为中点，4DE ==，3DF =，EF =∴GF =DG =24π43πS DG =⨯=． 故选D ．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．【答案】84π【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为1612sin602r =⨯==︒ 则外接球的半径R ， 则外接球的表面积为24π4π2184πS R ==⨯=．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为________．【答案】(32π-【解析】设正四棱锥的棱长为，则24⎫=⎪⎪⎝⎭4a =．于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN △的内切圆，其中4MN =，PM PN ==PE =．设内切圆的半径为，由PFO PEN ≅△△，得FO POEN PN =，即2r =，解得r ==∴内切球的表面积为(224π4π32πS r ===-．15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______．【答案】【解析】∵三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，1121sin 602AA ∴⨯⨯⨯︒⨯12AA ∴=，2222cos60412BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-，BC ∴=，设ABC △外接圆的半径为，则2sin 60BC R ︒＝，1R ∴=， =24π8π⨯=．故答案为．16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为_____．【解析】如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线，设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-，AB BD ⊥，所以AD =．由题意，体积的最小值即为最小，AD 2x =时，的最小值为。