1.10.5数阵图1.10.5.1基础知识数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。

幻方一般均为正方形。

图中纵、横、对角线数字和相等。

数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变幻多姿，奇趣迷人。

一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。

它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。

解数阵问题的一般思路是：1. 求出条件中若干已知数字的和。

2. 根据“和相等”，列出关系式，找出关键数一一重复使用的数。

3. 确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。

有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。

1.10.5.2辐射型数阵例1将1〜5五个数字，分别填入下图的五个O中，使横、竖线上的三个数字和都是10。

解：已给出的五个数字和是： 1 + 2 + 3 + 4+ 5= 15题中要求横、竖每条线上数字和都是10,两条线合起来便是20 了。

20- 15 = 5,怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。

只有5连加两次才能使五个数字的和增加5,关键找到了，中心数必须填5。

确定中心数后，按余下的1、2、3、4,分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。

解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。

设中心数为a,贝U a被重复使用了2次。

即，1 + 2+ 3 + 4+ 5+ 6+ 7+ 2a= 28+ 2a, 28+ 2a应能被3 整除。

(28 + 2a)弓=28弓 + 2a弓其中28完=9…余1,所以2a弓应余2。

由此，便可推得a只能是1、4、7三数。

当a= 1时，28 + 2a= 30 30七=10,其他两数的和是10—1 = 9,只要把余下的2、3、4、5、6、乙按和为9分成三组填入两端即可。

同理可求得a= 4、a= 7两端应填入的数。

例3将从1开始的连续自然数填入各O中，使每条线上的数字和相等。

解：图中共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。

设中心数为a, a被重复使用了两次，即: 1 + 2+ 3+……+ 10+ 2a= 55 + 2a, 55 + 2a应能被3整除。

(55 + 2a)七=55^3 + 2a七其中，55^3= 18余1，所以2a七应余2。

由此，可推知a只能在1、4、7中挑选。

在a =1时，55 + 2a= 57, 57+3= 19,即中心数若填1,各条线上的数字和应为19。

但是除掉中心数1,在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：9 + 7+ 2= 18, 8 + 6+ 4= 18,7+ 5 + 3= 15所以，a不能填1。

经试验，a= 7时，余下的数组合为12 ( 19 —7= 12),也不能满足条件。

因此，确定a只能填4。

例4将1〜9九个数字，填入下图各O中，使纵、横两条线上的数字和相等。

解：1〜9九个数字和是：1 + 2 + 3 +……+ 9= 5X9 = 45,把45平分成两份：45吃=22余1。

这就是说，若使每行数字和为 23,则需把1重复加一次，即中心数填1 ；若使数字和为 24,中心数应填3……。

总之，因45吃余数是1 ,只能使1、3、5、7、9各个奇数重复使用， 才有可能使横、竖行的数字和相等。

因而，此题可有多种解法。

但中心数必须是9以内的奇数。

解：图中共有五条线段，全部数字的总和必须是 5的倍数，每条线上的数字和才能相等。

1〜11 十^一个数字和为66, 66为=13余1,必须再增加4，可使各线上数字和为 14。

共 五条线，中心数重复使用 4次，填1恰符合条件。

此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上原余数1，所得的和必须是5的倍数。

据此，中心数填 6、11均可得解。

1.10.5.3封闭型数阵解：要使三角形每边上的数字和都是12,则三条边的数字和便是 12X 3= 36，而2 + 3+ 4 + 5 + 6+ 7= 27 , 36 与 27 相差 9。

三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9,才能符合条件。

确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！这题还可有许多解法，上图只是其中一种。

例2把1〜9九个数字，分别填入下图O 中，使每边上四个数的和都是 21。

解：要使三角形每条边上的数字和是 21,则三条边的数字和便是： 21X 3= 63。

而1〜9九个数字的和只有 45。

45比63少18,只有使三角形三个顶角的数字和为18,分别填入O 中，使三角形各边上的数字和都是12。

例5将1〜11 十^一个数字，填入下图各O 中，使每条线段上的数字和相等。

重复使用两次，才能使总和增加18。

所以应确定顶点的三个数。

下面是填法中的一种。

确定了顶角的数后，其他各数便容易了。

例3下图是四个互相联系的三角形。

把1〜9九个数字，填入O中，使每个三角形中数字的和都是15。

解：每个三角形数字和都是15,四个三角形的数字和便是：15^4 = 60,而1〜9九个数字和只有45。

45比60少15。

怎样才能使它增加15呢？靠数字重复使用才能解决。

中间的一个三角形，每个顶角都联着其他三角形，每个数字都被重复使用两次。

因此，只要使中间的一个三角形数字和为15,便可以符合条件。

因此，它的三个顶角数字，可以分别为：1、9、5 2、8、5 2、7、6 4、6、5 及2、9、4 3、8、4 3、7、5 8、6、1。

把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了。

前页下图是其中的一种。

例4把2〜10九个数字，分别填入下图O中，使每条直线上的三个数和为15。

解：2〜10九个数字的和为：2 + 3 + 4+……+ 10= 6>9 = 54若排成每个三角形每边的数字和都是15,图中含有每边都三个数字的三角形有两个,共六条边，数字总和应是15X6= 90。

54比90少36。

在外围的六个数都被重复使用了两次，它们又分属于两个三角形。

所以，每个三角形三个顶角的数和应为：36吃=18。

这样，便可以先填外三角形三个顶角的数。

三个数和为18的有很多组，可以通过试验筛选出适宜的一组。

填好了外围三角形各个数后，里面的三角形，因为顶角的数已知，其他各数便容易填写了。

上面是填法中的一种。

例5把1〜10十个数字，分别填入下图O中，使每个三角形三个顶角的三个数字和相等。

解：图中有三个三角形，顶角数字互不联系，中心的一个数独立于各个三角形之外。

因 此，要使各三角形顶角的数字和相等。

去掉中心数后，数字总和应是 3的倍数，而且三角形顶角的数字三组中不能出现重复。

女口：以10为中心数，可填为如上图样。

例6将1〜12分别填入下图O 中，使图中每个三角形周边上的六个数的和都相等。

78 ~=6 = 13。

这样，我们可以推想：因为内部的三条边都被重复计算两次，只要每个数增加 1,十二 个数的总和便增加 6,它们同样可以填出来，因而，本题的解法是很多的。

九个数分别填入下图O 中，使每条直线上的三个 12 12因此，可以按幻方的制作方法求解。

1 11 1 、5 1 7 2、12、6、4、3、12、2、12、3、4把它们按序排列为斜方形：将上、下两数，左、右两数对调，再把中间四数向外拉出,1〜12的数字和是78。

每条边上的数字和应为:7、把1、1」」、丄、2 2 3 4 6 12 3 使纵、横、对角线的三个数和相等,这十二个分数，按从小到大的顺序排列是: 解：九个分数排成方阵, 这已经符合幻方的要求了,12。

这样重新组成的数阵，便是求得的解了。

解：图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若都是12,数字总和便是12X4=48，可是1〜8八个数字总和只有36。

36比48少12。

只有靠共用顶角上数的重复使用，才能解决。

的有：因此，必须把四个公用顶角的数字和填成12。

把1〜8八个数四个一组，和为126+ 3 + 2 + 15+ 4 + 2 + 1上述两组中，经验证，只有6+3+ 2+ 1可以作公用顶点的数字。

例9在下图五个O内，各填入一个自然数，使图中八个三角形中顶点的数字和各不相同。

求能满足这个条件的自然数中最小的五个数。

解：能满足使八个三角形顶点数字和各不相同的任意自然数有很多组，但自然数中能满足这个条件的最小自然数却只有一组。

最小的一组自然数中的五个数，若有两个相同的，其中三个数的和可以多到有7个不同值，因此，五个数互不相同。

如果这五个数是1, 2, 3, 4, 5，则其中三个数的和有如下组合方式：1 +2 +3 = 6 2 + 3 + 4= 9 3+4 +5 = 121 +2 + 4 = 7 1+3 + 4= 8 2+ 3 + 5 = 102+ 4 + 5 = 11这样，总共只有七种不同的和，而图中共八个三角形，可知1, 2, 3, 4, 5五个自然数不能满足条件。

例10在下列图中三个正方形中，每个正方形的四个顶点上，只填入使图中八个三角形顶点数字和互不相同。

1, 2, 3, 4 四数,解：图中，顶角在大正方形边上的四个三角形，顶角都分别为两个三角形共用，只有正方形的四个角分别只属于一个三角形，所以，四个三角形顶点数字的和应等于：(1 + 2+3 + 4) X3= 3030不是4的倍数，因而，外面的四个三角形顶点数字和不可能相等。

同理，里面的四个三角形顶点数字和也不可能相等。

题中要求，每个三角形顶点数字和不相同，1〜4四个数之和最小值是1+ 1 + 2 = 4,最大值是4 + 4+ 3 = 11,这样共可组成八组数，将八组数分别填入各个三角形顶点，便可符合条件。

分别填入下图O中，使每个面的四个数和相等。

解：数字图是个正立方体，共有六个面。

每个面四个顶点上的数都是三个面重复使用的。

1〜8八个数的数字总和是： 1 + 2 + 3 +……+ 8 = 36因为每个顶点的数都被重复使用三次，所以六个面的数字总和是：36X3= 108每个面的数字和便是：108为=18这样，便可填为下图或其他形式。