3．函数的定义：设A，B是两个非空的_数__集__，如果按照某种 对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有 _唯__一__的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B 的_函__数__(function)，记作f：A→B，或者__y_＝__f(_x_)(x∈A， y∈B)．
这里，A叫作函数的_定__义__域__，与x∈A对应的数y叫x的__象__, 记作y＝f(x)，由所有x∈A的象组成的集合叫作函数的 _值__域__． 4．观察实际例子并对照定义看出，一个函数f(x)有三个要素： 首先是_对__应__法__则_，也就是如何从x确定f(x)的法则．不知道 对__应__法__则__，就不能从根本上了解这个函数． 其次是_定__义__域_，就是自变量x的取值范围．对应法则形式上 相同的两个函数，若_定__义__域_不同，就算不同的函数． 知道了对应法则和定义域，_值__域__也就确定了，对_值__域__的 了解表明对函数有了更深入的认识，所以_值__域__也算是函数 的要素之一．
自学导引
1．映射的定义：设A，B是两个__非__空_的集合，如果按照某种 对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都 有_唯__一__元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B 的_映__射__，记作__f_：__A_→__B_． 在映射f：A→B中，集合A叫作映射的__定__义__域__，与A中元 素x对应的B中的元素y叫x的_象__(image)，记作y＝f(x)G，x 叫作y的_原__象__(inverseimage)．
由x＋1＝32， x2＋1＝54，
得 x＝12.
所以 2在 B 中对应元素为( 2＋1，3)，32，54在 A 中对应元素
为12.
题型三 对函数定义的理解 【例3】判断下列对应是否为函数：
(1)x→2x，x≠0，x∈R； (2)x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R； (3)集合A＝R，B＝{－1，1}，对应关系f：当x为有理数 时，f(x)＝－1；当x为无理数时，f(x)＝1，该对应是不是 从A到B的函数？
解 (1)对于任意一个非零实数 x，2x被 x 唯一确定，所以当 x
≠0 时，x→2x是函数，这个函数也可以表示为 f(x)＝2x(x≠0)．
(2)当x＝4时，y2＝4，得y＝2或y＝－2，不是有唯一值和x对 应，所以，x→y(y2＝x)不是函数． (3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯 一确定的值和它对应． 点评 1.判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B， 一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)． 2．函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否 具有函数关系，只要检验： (1)变量x的取值集合和两变量x、y的对应关系是否给出； (2)根据给出的对应关系，自变量x在其取值集合中的每一个 值，是否都有唯一确定的值y与之对应．
答案 (2)(5)
4．给出下列四个对应关系，能构成函数的有________(填序 号)． ①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝2x－3； ②A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{y|y∈N，y≤5}， f：x→y＝|x－1|； ③A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝x2－4x＋3}，f：x→y＝x－3； ④A＝N＋，B＝{y∈N＋|y＝2x，x∈N＋}，f：x→y＝2x－1. 答案 ①②③
【变式1】 下列对应是否是从 A 到 B 的映射，能否构成函数？ (1)A＝R，B＝R，f：x→y＝x＋1 1； (2)A＝{a|a＝n，n∈N＋}， B＝b|b＝n1，n∈N＋，f：a→b＝1a； (3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x； (4)A＝{x|x 是平面 M 内的矩形}， B＝{x|x 是平面 M 内的圆}，f：作矩形的外接圆．
【变式2】 已知集合 A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B 是从 A 到 B 的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求 A 中元素 2在 B 中的
对应元素和 B 中元素32，54在 A 中的对应元素．
解 将 x＝ 2代入对应关系，可求出其在 B 中的对应元素( 2＋
1，3)．
(4)“在B中”：就是说集合A中元素的象必在集合B中，即A 中元素的象集是B的子集，这是映射的封闭性． (5)映射的三要素是集合A、B以及对应法则f，缺一不可； 映射不是只有集合A或者集合B，而是集合A、B以及对应 法则f的整体，是一个系统，记作f：A→B.有时，映射f： A→B，集合A中的元素a对应集合B中的元素b，也可表示 为f：a→b＝f(a)或者直接写成b＝f(a)．只要其中一个要素 不同就是不同的映射． (6)在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集 或其他集合；集合A、B也可以是同一集合．但在确定的 映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的．
(3)虽然f(x)＝x2和f(x－1)＝x2等号右边的表达式都是x2，但 是，由于对应法则f所施加的对象不同(一个为x，而另一 个为x－1)，因此函数的解析式是不同的． (4)f(a)(a是常量)与f(x)的关系：f(a)表示当x＝a时，函数 f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，一般表 示的是变量．
解 (1)当x＝－1时，y的值不存在， ∴不是映射，更不是函数． (2)是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中 的元素． (3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应， 所以不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，因为A，B不是数集．
题型二 映射综合问题
【例2已】知A＝{a，b，c}，B＝{－2，0，2}，映射f：A→B满足f(a) ＋f(b)＝f(c)．求满足条件的映射的个数． 解 (1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝ f(c)有一个映射； (2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映 射有4个，分别为2＋0＝2，0＋2＝2， (－2)＋0＝－2，0＋(－2)＝－2. (3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射，分 别为(－2)＋2＝0，2＋(－2)＝0. 因此满足条件的映射共有7个． 点评 求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的定义处 理，必要时进行分类讨论．
名师点睛
1．对映射概念的理解 (1)“任意”：就是说映射作用下集合A中的每一个元素在集 合B中都有它的象，这是映射的完备性． (2)“集合A到集合B”：映射定义中的两个集合A，B是有先 后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同 的，这是映射的方向性． (3)“有一个且仅有一个”：就是说映射作用下集合A中的任 何一个元素在集合B中的象是存在且唯一的，这是映射的 存在性与唯一性．
a→b＝(a－1)2.
解 (1)任一个x都有两个y与之对应，∴不是映射． (2)对于A中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，对于A 中任意的一个负数都有唯一的元素0和它对应，∴是映射． (3)在f的作用下，A中的0，1，2，9分别对应到B中的1，0，1， 64， ∴是映射． 点评 判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1) 是否是“对于A中的每一个元素”；(2)在B中是否“有唯一的元素 与之对应”． 一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两 点若有一点不具备就不是映射． 说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可．
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1.2 函数的概念和性质
1.2.1对应、映射和函数
【课标要求】 1．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映
射． 2．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会
对应关系在刻画函数概念中的作用． 3．通过实例领悟构成函数的三要素．
( )．
B．y＝ x2－1 与 y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与 y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z 与 y＝2x－1，x∈Z
解析 答案A中的两函数定义域不同，答案B中的两函数 值域不同，答案D中的两函数对应法则不同，答案C正 确． 答案 C
3．下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f.其中为 映射的对应是________．
自主探究
1． 函数与映射的主要联系和区别是什么？ 提示 函数是一个特殊的映射，函数是非空数集A到非空 数集B的映射；而对于映射而言，A和B不一定是数集．
2． f(x)与f(a)的含义有什么不同？ 提示 f(x)是自变量x的函数，在一般情况下是一个变量； f(a)表示当x＝a时所得的函数值，是一个常量，f(a)是f(x) 的一个特殊值，如：函数f(x)＝3x＋2，f(2)＝3×2＋2＝8.
预习测评
1． 下列从集合A到集合B的对应f是映射的是( )． A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值 答案 A
2．下列各组函数表示同一函数的是 A．y＝xx2－－39与 y＝x＋3
[正解] 问题转化为：求使 k2x2＋3kx＋1≠0 成立的 k 的值． (1)k＝0 时，y＝－18＝－8，定义域为 R，∴k＝0 符合题意． (2)k≠0 时，k2>0， ∴k2x2＋3kx＋1≠0，即 Δ＝9k2－4k2<0，此时 5k2<0，无解． 综上，k＝0 时函数 y＝k2x22＋kx3－kx8＋1的定义域为 R.
【变式3】 下列各题中两个函数是否表示同一函数：
(1)f(x)＝x，g(x)＝( x)2；(2)f(x)＝x，g(x)＝ x2； (3)f(t)＝t，g(x)＝3 x3；(4)f(x)＝xx2－－24，g(x)＝x＋2. 解 (1)f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数 的定义域不同，故不是同一函数． (2)g(x)＝ x2＝|x|，两个函数对应关系不同，量x，y，对于每一个在一 定范围内变化着的_自__变__量__(_a_r_g_u_m__e_n_t)_x_的值，按照一定的 对应法则，都有一个_唯__一__确__定__的y值与之对应，那么，就 说y是自变量x的_函__数__，而自变量x的上述变化范围，就叫 作该函数的_定__义__域__(domain)，和自变量x对应的y的值，叫 作___函__数__值，函数值的变化范围叫作该函数的 值域 _____(co-domain)．