复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.11
求
f
(
z)
1
eiz z
2
在孤立奇点处的留数。
Re s( f (z),i) 1 Re s( f (z), i) e
2ie
2i
例
5.12
求
f
(z)
sec z z3
在z=0处的留数。
Re s( f (z), 0) 1
2
例 5.13 下列留数。
zez (1) Re s( z2 1,1)
解法一：z→1时，f(z)的极限不存在，且不为∞，
解法二：sin
1
1
z
1 1
z
1 3!(1
z)3
1 5!(1
z)5
...
所以，z=1本性奇点。
1
例 5.7 证明z=0是函数 f (z) zne z 的本性奇点。
1
1
lim znez lim xnex
z x 0
z x0
1
1
lim znez lim xne x 0
闭曲线，则
L
n
C2
i f (z) d z 2πi L
Res f (zk )
k 1
D
C1
Ck
图 5.1
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.14 计算积分 5z 2
i (1) |z|2 z(z 1)2 d z
(2) tan zdz 4i z 1
解：1)z=0是被积函数的一阶极点， z=1是二阶极点.
z p
p)
f
( z )]
1 p4 2ip2 (1 p2 )
I 2πp2 1 p2
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
利用留数定理计算实积分的步骤：
➢ 将实积分化成闭合回路的复积分 ➢ 利用留数定理 ➢ 计算留数 课堂练习：习题5.3(1)
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第5章 留数及其应用
（二） P(x) d x 型积分
2i[Re
sf
( ) Re
2
sf
( )]
2i
(2 )
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
课堂练习
cos z
计算积分
C
z3
dz
(C : z 1.逆时针)
解： z 0 是三阶极点，并且被包围于C中
Re
sf
(0)
1 lim
2! z0
d2 dz2
[z3
f
( z )]
1 lim
2! z0
d2 dz2
I
2 i
2πi
Res
f
( z ),2Biblioteka 3 4πlim
z 2
3
z
(2
3)
z2
1 4z
1
2π 3
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.24
求 I 2π cos 2 d
0 1 2 p cos p2
( p 1) 的值。
【解】 令
z ei 由于 cos 2 1 (e2i e2i ) 1 (z2 z2 )
,
z
z 1 )
iz 2 2i
zk (k 1, 2,, n) 为单位圆内部的n个孤立奇点．
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.23 求 I 2π d 的值。
0 2 cos
【解】 令 z ei 则
i i I
|z|1
2
1 z2
1
dz iz
2 i
1
|z|1
z2
4z
dz 1
2z
被积函数在 z 1内只有单极点 z 2 3，故
Res[ f (z), 0] lim z z0
5z 2 z(z 1)2
lim
z0
5z 2 (z 1)2
2
Res[
f
(z),1]
lim d z1 dz
(z
1)2
5z 2 z(z 1)2
lim
z1
2 z2
2
i 5z 2 d z 2πi(2 2) 0
|z|2 z(z 1)2
复变函数与积分变换
解：
z1
2
,
z2
皆为一阶极点，并且都被包围于C中
Re
sf
(
2
)
lim
z 2
(z
2
)
(2z
sin z
)(z
)2
2
2
Re
sf
(
)
lim
z
( z
)
(2z
sin z
)(z
)2
lim
z
(2z
sin z
)(z
)
c os z
1
lim
z 2(z ) (2z )
C
sin zdz
(2z )( z )2
sin z 1 0
z 2k
2
(sin z 1) z 2k 0 2
皆为2阶零点。
(sin z 1) z 2k 1 0 2 复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
定理 5.3 (极点的判定定理)
（1）f (z) 在奇点z0的去心邻域内的罗朗级数的主要部分为
有限多项；
（2）f (z) 在z0点的去心邻域 0 | z z0 | R 内能表示为
成都第理5章工留大数学及专其业应基用 础课
复变函数
第5章 留数及其应用
主讲教师： 陈小凤
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
本章目录
§5.1 解析函数的孤立奇点 §5.2 留数的定义及计算 §5.3 留数在实变量积分计算中的应用 *§5.4 对数留数与幅角原理
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
第5章 留数及其应用
5.2 留数的定义及计算
（一）留数的定义
若函数 f (z) 在z0的去心邻域 0 z z0 R 内解析，
则在此邻域内，可展开成洛朗级数
f (z) L cn (z z0 )n L c2 (z z0 )2 c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 ) L cn (z z0 )n L
(cos
z)
1 2
C
cos z3
z
dz
2i
Re
sf
(0)
i
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
5.3 留数定理在实积分 计算中的应用
（一） 2 R(cos ,sin ) d 0
型积分
2
n
R(cos ,sin ) d 2πi
0
Res[ f (z), zk ]
k 1
其中
f
(z)
1
R( z
z 1
第5章 留数及其应用
3、本性奇点
定理 5.5 (本性奇点的判定定理)
（1）f (z) 在奇点z0的去心邻域内的罗朗级数的主要部分为
无限多项。
（2）lim f (z) 不存在。 z z0
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
例 5.6 判断函数 f (z) sin 1 的孤立奇点的类型. 1 z
极限不存在， 为本性奇点。
z x 0
z x 0
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第5章 留数及其应用
定理 5.6
若z=z0为函数f(z)的本性奇点，且f(z)在z0的去 心邻域内不取0，则z=z0必为1/f(z)的本性奇点。
复变函数与积分变换
第5章 留数及其应用
（三）孤立奇点∞的定义及分类
本节不要求。
复变函数与积分变换
2
2
因此
i i I
|z|1
z2
z2 2
1 2 p
1 z
z 1
p2
dz iz
|z|1
z4 1 2iz2 (1 pz)(z
dz p)
2
z=0为被积函数二阶极点， z=p 为一阶极点，故
Res[
f
(
z
),
0]
lim
z0
d dz
[
z
2
f
(
z)]
1 p2 2ip2
Res[
f
( z ),
p]
lim[( z
1
1
蜒 解： Res[ f (z),1] 1
2 i
ez
1
C z2 z dz 2 i
ez / z dz
C z 1
1
1 2 i e z e 2 i z
z 1
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i 第5章 留数及其应用
（二）留数的计算
Res
f
(z0 )
1 2πi
C f (z) d z c1
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数
2、m阶极点
定义5.3 设函数f(z)在z0点的某领域解析，若 f(z0)=0，则称z0为解析函数f(z)的零点。
定理5.2 (零点判定定理)
如果f(z)在z0解析,那么z0为f(z)的m级零点的充要条件是
f (z) (z z0 )m(z)
其中φ(z)在点z0的邻域解析并且φ(z0)≠0 ,(m为正整数) 推论 z0为f(z)的m级零点的充要条件是 f (n) (z0 ) 0, n 1, 2,...m 1, f (m) (z0 ) 0
e 2
1
(2) Re s(
,i)
(z2 1)3
z sin z (3) Re s( z6 , 0)
3i 16
1 5!