3.8 圆内接正多边形
教学目标
1．了解圆内接正多边形的有关概念；(重点)
2．理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系；(重点)
3．掌握圆内接正多边形的画法．(难点)
教学过程 一、情境导入
这些美丽的图案，都是在日常生
活中我们经常能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？
二、合作探究
探究点：圆内接正多边形 【类型一】 圆内接正多边形的相
关计算
已知正六边形的边心距为3，求正六边形的内角、外角、中心
角、半径、边长、周长和面积．
解析：根据题意画出图形，可得△OBC 是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB 的长，继而求得正六边形的周长和面积．
解：如图，连接OB ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于H ，∵六边形ABCDEF 是正
六边形，∴∠BOC ＝1
6
×360°＝60°，
∴中心角是60°.∵OB ＝OC ，∴△OBC
是等边三角形，∴BC ＝OB ＝OC .∵OH ＝
3，sin ∠OBC ＝OH OB ＝3
2
，∴OB ＝BC ＝2.∴内角为
180°×（6－2）
6
＝
120°，外角为60°，周长为2×6＝12，S 正六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×1
2×2× 3
＝6 3.
方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟练掌握．
【类型二】 圆内接正多边形的画
法
如图，已知半径为R 的⊙O ，
用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．
解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．
解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°；
(2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．
方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°；
(2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵
； (3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形．
方法三：(1)作直径AD ； (2)以D 为圆心，以OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ；
(3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．
方法四：(1)作直径AE ； (2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，
C ；
(3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ，
ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形．
方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：
度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．
【类型三】 正多边形外接圆与内
切圆的综合
如图，已知正三角形的边长为2a . (1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；
(2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？
(3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？
(4)已知正n 边形的边长为2a ，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解．
解：(1)设正三角形ABC 的中心为
O ，BC 切⊙O 于点D ，连接OB 、OD ，则OD ⊥BC ，BD ＝DC ＝a .则S
圆环
＝π·OB 2－π·OD 2＝π
OB 2－OD 2
＝π·BD 2
＝πa 2；
(2)只需测出弦BC (或AC ，AB )的长；
(3)结果一样，即S 圆环＝πa 2； (4)S 圆环＝πa 2.
方法总结：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径、外接圆半径、边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．
【类型四】 圆内接正多边形的实
际运用
如图①，有一个宝塔，它的
地基边缘是周长为26m 的正五边形
ABCDE (如图②)，点O 为中心(下列各题结果精确到0.1m)．
(1)求地基的中心到边缘的距离； (2)已知塔的墙体宽为1m ，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为
1.6m 的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？
解析：(1)构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得到半边所
对的角是
360°
10
＝36°，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是26÷10＝2.6，最后由该角的正切值进行求解；(2)根据(1)中的结论，塔的墙体宽为1m 和最窄处为1.6m 的观光通道，进行计算．
解：(1)作OM ⊥AB 于点M ，连接
OA 、OB ，则OM 为边心距，∠AOB 是中心角．由正五边形性质得∠AOB ＝360°÷5＝72°，∴∠AOM ＝36°.∵
AB ＝15
×26＝5.2，∴AM ＝2.6.在Rt △AMO 中，边心距OM ＝
AM tan36°
＝ 2.6
tan36°
≈3.6(m)．所以，地基的中心到边缘的距离约为3.6m ；
(2)3.6－1－1.6＝1(m)． 所以，塑像底座的半径最大约为1m.
方法总结：解决问题关键是将实际问题转化为数学问题来解答．熟悉正多边形各个元素的算法．
三、板书设计
圆内接正多边形
1．正多边形的有关概念 2．正多边形的画法 3．正多边形的有关计算 教学反思
本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，
但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.。