9．已知⊙O 和⊙O 上的一点 A. (1)作⊙O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH； (2)在(1)题的作图中，如果点 E 在A︵D上，求证：DE 是⊙O 内接 正十二边形的一边．
(1)作法：①作直径AC；②作直径BD⊥AC；③依次连接A，B，C，D 四点，∴四边形ABCD即为⊙O的内接正方形．(图略)①分别以A，C 为圆心，OA的长为半径作弧，交⊙O于E，F，G，H；②顺次连接A， E，F，C，G，H各点，∴六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形(图 略)
(2)连接 OE，DE，图略．∵∠AOD＝3604°＝90°，∠AOE＝3660° ＝60°，∴∠DOE＝90°－60°＝30°，∴DE 为⊙O 的内接正十二 边形的一边 ．
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10．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一 边，CD＝5 cm，求⊙O的半径R. 连接 OB，OC，OD，图略．∵等边△ABC 内接于⊙O， BD 为内接正十二边形的一边，∴∠BOC＝13×360°＝120
18．(导学号：37554069)如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH， 若△ADE的面积为10，则这个正八边形的面积为__4_0___．
19．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2，T1的6个顶点都在圆 周上，T2的6条边都和圆O相切(我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边 形和外切正六边形)．
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
知识点：圆内接正多边形
1．(2017·滨州)若正方形的外接圆半径为 2，则其内切圆半径为( A )
A. 2
B．2 2
2 C. 2
D．1
2．(2017·沈阳)如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，正六边形的 周长是 12，则⊙O 的半径是( B )
A. 3 B．2 C．2 2 D．2 3
°，∠BOD＝112×360°＝30°，∴∠COD＝∠BOC－∠ BOD＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°，∴OC＝ CD×cos 45°＝5 2× 22＝5(cm)，即⊙O 的半径 R＝5 cm
易错点：混淆正多边形的边心距和半径而出错 11．正六边形的边心距为 3，则该正六边形的边长是( B ) A. 3 B．2 C．3 D．2 3
6．一个正方形的边长为4 cm，则它的中心角是__9_0_____°，半 径是___2__2___cm，边心距是___2_____cm.
7．在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为 ___2_∶__1__．
8．如图，AB，AC分别是⊙O的内接正六边形和内接正十边形的一 边，则BC是⊙O的内接正__十__五____边形的边．
A．( 22)n B．(12)n C．( 23)n D．(34)n
15．(2016·威海)如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则 ⊙O的内接正三角形EFG的边长为__2___6___．
16．如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M，求证： (1)AC∥DE； (2)ME＝AE.
12．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD， 则∠BED的度数为( ) B
A．30° B．45° C．50° D．60°
13．(导学号：37554068)如图，由 7 个形状、大小完全相同的正 六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的 边长为 1，△ABC 的顶点都在格点上，则△ABC 的面积是( D )
3．(2017·达州)以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边 形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( A )
23 A. 2 B. 2 C. 2 D. 3
4．一个正n边形的面积是240 cm2，周长是60 cm，则边心距是 __8__c_m___．
5．如图，要拧开一个边长为a＝6 cm的正六边形螺帽，扳手张开的 开口b至少为__6___3___cm.
17．如图，正方形ABCD的边长为a cm，剪去4个角后成为正八边形， 求正八边形的边长和面积． 由题意，设 LE＝LK＝x cm.∵△AEL 是等腰直角 三角形，∴AL＝ 22x＝DK.又∵AD＝a，∴ 22x＋ 22x＋x＝a，解得 x＝ 2a＋1＝( 2－1)a，∴S 正八边 形＝S 正方形 ABCD－4×S△AEL＝a2－4×12×[ 22×( 2 －1)a]2＝(2 2－2)a2(cm2)
(1)由题意，得∠EDC＝（5－2）5 ·180°＝108°. ∠DCA＝21×2×3650°＝72°.∴∠EDC＋∠DCA ＝108°＋72°＝180°，∴AC∥DE
(2)由题意，得∠DEB＝∠EAC＝12×2×3605°＝72°.∵AC∥DE， ∴∠AME＝∠DEB＝72°.∴∠AME＝∠EAC，∴ME＝AE
(1)设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r∶a及r∶b的值； (2)求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2的值．
(1)连接圆心 O 和 T1 的 6 个顶点可得 6 个全等的正三角形，所以 r∶a ＝1∶1；连接圆心 O 和 T2 相邻的两个顶点，得以圆 O 半径为高的正 三角形，所以 r∶b＝ 3∶2 (2)T1∶T2 的边长比是 3∶2，所以 S1∶ S2＝(a∶b)2＝3∶4
A. 2 B．2 3 C．3 2 D．3 3
14．如图，先作正方形 ABCD 的内切圆，再作这个内切圆的内接正 方形 A1B1C1D1，把这一过程称为第一次数学操作．接下来，作正方形 A1B1C1D1 的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形 A2B2C2D2，称为第二 次数学操作……按此规律如此下去，当完成第 n 次数学操作后，得到正 方形 AnBnCnDn，则AAnBBn的值为( A )