2018-2019学年选修2-1第二章训练卷圆锥曲线与方程（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若椭圆2212xym的离心率为12，则实数m （）A ．32或83B ．32C ．38D ．32或382．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(－12，－15)，则E 的方程为（）A ．22136x y B ．22145xy C ．22163xyD ．22154xy3．双曲线2214xyk的离心率1,2e ，则k 的取值范围是（）A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)4．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．已知两定点11,0F ，21,0F ，且1212F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．37．过抛物线24y x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在8．已知(4,2)是直线l 被椭圆221369xy所截得的线段的中点，则l 的方程是（）A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝09．过椭圆22142xy的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，已知双曲线的焦点在x 轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A 、B 两点，则双曲线的离心率e 为（）A ．12B ．22C ．62D ．3210．双曲线2210xymn m n有一个焦点与抛物线24yx 的焦点重合，则m n 的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．以上都不对11．设1F ，2F 是双曲线222210,0x y a b ab的左、右焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ，且22122PF PF ac c ab，则双曲线的离心率为（）A ．152B ．132C ．2D ．12212．已知1F ，2F 分别为双曲线222210,0x y a b ab的左、右焦点，P 为双曲线此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号右支上的任意一点，若212PFPF的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．(1，＋∞）B．(1,2] C．1,3D．(1,3]二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．若双曲线的渐近线方程为13y x，它的一个焦点是10,0，则双曲线的标准方程是________．14．椭圆22192x y的焦点为1F，2F，点P在椭圆上，若14PF，则2PF________，12F PF的大小为________．15．已知1F、2F是椭圆22221x ya b的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，从1F引12F PF的外角平分线的垂线，交2F P的延长线于M，则点M的轨迹方程是________．16．设1F，2F分别为椭圆2213xy的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若125F A F B，则点A的坐标是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)求与椭圆22194x y有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18．(12分)已知椭圆222210x ya ba b的离心率32e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B．已知点A的坐标为,0a，点0,Q y在线段AB的垂直平分线上，且4QA QB，求y的值．19．(12分)已知过抛物线220yPx P的焦点F 的直线交抛物线于11,A x y ，22,B x y 两点．求证：（1）12x x 为定值；（2）11FAFB为定值．20．(12分)已知2,0A、2,0B 两点，动点P 在y 轴上的射影为Q ，22PA PBPQ ．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设直线M 过点A ，斜率为k ，当0<k<1时，曲线E 的上支上有且仅有一点C到直线M 的距离为2，试求k 的值及此时点C 的坐标．21．(12分)图2设椭圆22122:10xy C a bab，抛物线222:C xbyb ．（1）若2C 经过1C 的两个焦点，求1C 的离心率；（2）设()0,A b ，533,4Q b ，又M ，N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为30,4B b ，且△QMN 的重心在2C 上，求椭圆1C 和抛物线2C 的方程．22．(12分)000,P x y x a 是双曲线2222:10,0x y E a bab上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB ，求λ的值．2018-2019学年选修2-1第二章训练卷圆锥曲线与方程（一）答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．【答案】A 【解析】如果2m，则2cm ，故2122m ，所以32m ；如果2m ，则2c m ，故212m m ，则83m．故选A ．2．【答案】B【解析】∵F(3,0)，AB 的中点N(－12，－15)，∴1501123AB k ．又∵F(3,0)，可设双曲线的方程为22221x y a b ，易知229a b ①再设11,A x y ，22,B x y ，则有2211221x y ab②2222221x ya b③由②－③可得2222121222xx yy a b，即1212121222x x x x y y y y ab∴21212212121AB y y x x b k x x ay y ．又∵12122x x ，12152y y ，∴式可化为2212115b a ，∴2254b a④由①和④可知25b ，24a ，∴双曲线的方程为22145xy，故选择B ．3．【答案】B 【解析】∵24a，2b k ，∴24c k ．∵1,2e ，∴2241,44cka，k ∈(－12,0)．4．【答案】D【解析】设M(2,0)，由题设可知，把直线x ＝－1向左平移一个单位即为直线2x，则点P 到直线x ＝－2的距离等于|PM |，所以动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．5．【答案】D【解析】依题意知12122PF F F P F ，作图可知点P 的轨迹为线段，故选D ．6．【答案】B 【解析】不妨设双曲线C 为222210,0x y a bab，并设l 过2,0F c 且垂直于x轴，则易求得22b ABa，∴2222b a a，222ba ，∴离心率2213c b eaa，故选B ．7．【答案】B 【解析】过抛物线24yx 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．故设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为1y k x代入抛物线24yx 得2222220k xkx k，A ，B 两点的横坐标之和等于5，22225kk，243k，∴这样的直线有且仅有两条．故选B ．8．【答案】D【解析】设l 与椭圆的两交点分别为11,x y 、22,x y ，则得22122212936y y xx，所以121212y y x x ．故方程为1242yx ，即280x y ．故选D ．9．【答案】C【解析】2,1A ，2,1B ，设双曲线为222210,0x y a b ab，渐近线方程为b yx a，因为A 、B 在渐近线上，所以12b a，22b a，2222612c ab b eaaa．故选C ．10．【答案】 C【解析】抛物线24y x 的焦点为F (1,0)，故双曲线221xym n中0m ，0n ，且21m nc．C 选项正确．11．【答案】A 【解析】由120PF PF 可知12PF F △为直角三角形，则由勾股定理，得222124PF PF c ，①由双曲线的定义，得22124PF PF a②又122PF PF ac ，③由①②③得220c ac a，即210e e ，解得152e或152e(舍去)．故选A ．12．【答案】D【解析】222212222244448a PF PF aPF a a a a PF PF PF ，当且仅当2224aPF PF ，即22PF a 时取等号．这时14PF a ．由1212PF PF F F ，得62ac ，即3c ea，得1,3e ，故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】2219xy【解析】由双曲线的渐近线方程为13yx ，知13b a，它的一个焦点是10,0，知2210ab，因此3a ，1b ，故双曲线的方程是2219xy．14．【答案】2，120°【解析】由椭圆的定义知122236PF PF a，因为14PF ，所以22PF ．在12PF F △中，222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF ．∴12120F PF ．15．【答案】222224x abya【解析】由题意知1MPF P ，∴1222PF PF MF a ．∴点M 到点2F 的距离为定值2a ．∴点M 的轨迹是以点2F 为圆心，以2a 为半径的圆，其方程为222224x abya ．16．【答案】0,1【解析】设11(),A x y ，22(),B x y ，由12,0F ，22,0F ，且125F AF B 得211625x x ，2115y y ．又A 、B 两点在椭圆上，故有22112211136217525x yx y，消去1y 得221162243x x ，有10x ，从而11y ，故点A 的坐标为(0,1)和(0,)1．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．【答案】2214xy．【解析】由椭圆方程22194xy，知长半轴13a ，短半轴12b ，焦距的一半221115c ab，∴焦点是15,0F ，25,0F ，因此双曲线的焦点也是15,0F ，25,0F ，设双曲线方程为222210,0x y a b ab，由题设条件及双曲线的性质，得222552ccab c a，解得21a b，故所求双曲线的方程为2214xy．18．【答案】（1）2214xy ；（2）022y 或02145y ．【解析】（1）由32c E a，得2234ac ．再由222cab ，得2a b ．由题意可知12242a b，即2ab ．解方程组22a b ab，得a ＝2，b ＝1．所以椭圆的方程为2214xy．（2）由（1）可知2,0A ．设B 点的坐标为11,x y ，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2yk x．于是A ，B 两点的坐标满足方程组22214yk xxy，由方程组消去y 并整理，得222214161640k xk xk ．由212164214k x k，得2122814k x k．从而12414ky k ．设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为22282,1414kkkk．以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是02,QAy ，02,QBy ．由4QA QB，得022y ．②当k ≠０时，线段AB 的垂直平分线方程为2222181414k k yxkkk．令x ＝0，解得02614k y k．由02,QAy ，110,QBx y y ．210102222228646214141414kk k k QA QBx y y y kkkk4222416151414kk k，整理得272k ，故147k ．所以02145y ．综上，022y 或02145y ．19．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）抛物线22yPx 的焦点为,02p F，设直线AB 的方程为02p yk xk．由222py k x ypx，消去y ，得22222204k p k xP kx．由根与系数的关系，得2124px x (定值)．当AB ⊥x 轴时，122p x x ，2124px x ，也成立．（2）由抛物线的定义，知12p FAx ，22p FB x ．121222121212121111222422x x p x x p p pp pp p FAFB x x x x x x x x 121222x x p p p x x p (定值)．当AB ⊥x 轴时，FA FB P ，上式仍成立．20．【答案】（1）222yx；（2）255k，22,10C ．【解析】（1）设动点P 的坐标为(x ，y)，则点Q(0，y)，,0PQ x ，2,PAx y ，2,PB x y ，222PA PB x y ．∵22PA PBPQ ，∴22222xyx ，即动点P 的轨迹方程为222yx．（2）设直线M ：201yk x k，依题意，点C 在与直线M 平行且与M 之间的距离为2的直线上，设此直线为1:M ykx b ．由2221k b k ，即2222bkb ．①把ykxb 代入222yx，整理，得2221220kx kbx b ，则222244120Δk bkb ，即2222b k．②由①②，得255k，105b．此时，由方程组222510552y x yx，解得2210x y，即22,10C ．21．【答案】（1）22；（2）1C ：2211643xy，2C ：224xy．【解析】（1）因为抛物线2C 经过椭圆1C 的两个焦点1,()0F c ，2,0F c ，可得22c b ．由22222abcc ，有2212c a，所以椭圆1C 的离心率22e．（2）由题设可知M ，N 关于y 轴对称，设11,Mx y ，11,N x y ，10x ，则由△AMN 的垂心为B ，有0BM AN，所以2111304xy b y b①由于点11,N x y 在2C 上，故有2211x by b ②由①②得14b y ，或1y b (舍去)，所以152x b ，故5,24b Mb ，5,24b Nb ，所以△QMN 的重心为3,4b ，由重心在2C 上得：2234bb ，所以2b ，15,2M，15,2N，又因为M ，N 在1C 上，所以22215214a ，得2163a．所以椭圆1C 的方程为：2211643xy，抛物线2C 的方程为：224x y．22．【答案】（1）305；（2）λ＝0或λ＝－4．【解析】（1）点000,P x y x a 在双曲线22221xy ab上，有2200221x yab．由题意又有000015y y x a x a ，可得225ab ，22226c abb ，则305c ea．（2）联立22255x yby x c，得22410350xcx b，设11,A x y ，22,B x y ，则1221252354c x x b x x ①设33,OCx y ，OCOA OB ，即312312x x x y y y ，又C 为双曲线上一点，即2223355xyb ，有222121255x x y y b ，化简得2222221122121255255xy xy x x y y b ．②又11,A x y ，22,B x y 在双曲线上，所以2221155xy b ，2222255x y b ．由①式又有221212121212125545510x x y y x x x c x cx x c x x cb ，得：240，解出λ＝0或λ＝－4．。