a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an 2 ann ( 1 )( 2 )( n )
E A ( 1 )( 2 )( n )
A 的 n 个特征向量，则有
4 1 1 2E A 0 0 0 4 1 1
1 p3 4 , 0
r
4 1 1 0 0 0 0 0 0
所以对应于2 3 2的全部特征向量为 k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
A 3 A 2E A A 3 A 2E 2 A1 3 A 2 E ( A)
则有 ( ) 21 3 2,

1
故 ( A) 的特征值为
a 求对角矩阵A b 的特征值. c
可见,对角矩阵和三角矩阵的特征值就是 这些矩阵对角线上的元素.
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3. 特征值和特征向量的性质
性质1：矩阵 A 和 AT 的特征值相同。
虽然 A 与 AT 有相同的特征值,特征向量却不一定相同.
1 1 例如: A 2 4
所以对应于 1 2 的全部特征向量为 kp1 ( k 0).
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当 2 4 时，对应的特征向量应满足
4 3 1 x1 0 1 4 3 x 0 2
x1 x2 0, 1 即 解得 x1 x2 ,得基础解系 p2 , 1 x1 x2 0.
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求特征值、特征向量步骤：
Байду номын сангаас
(1) E A 0 or A E 0 求出 即为特征值;
(2) Ax x E Ax 0 或 A E x 0
把得到的每一个特征值 代入上式，
求齐次线性方程组 E Ax 0 的非零解 x 即为所求特征向量。
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二、特征值与特征向量的求法
1. 结论的引入
Ax x x Ax 0 (E A) x 0
若 0 是 A 的特征值， 是 A 的对应于 0 的特征向量， 则有

(0 E A) 0
方程 (0 E A) x 0 有非零解，且 是它的一个非零解
所以 A的特征值为 1 1, 2 3 2.
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当 1 1 时，解齐次方程
( E A) x ， 0
1 1 1 E A 0 3 0 4 1 4
1 得基础解系 p1 0 , 1
所以对应于 2 4 的全部特征向量为 kp2 (k 0).
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例 求矩阵
1 1 0 A 4 3 0 1 0 2
的特征值和特征向量.
解： A的特征多项式 1 1 E A 4 3
1 0
2
0 0
( 2)
比较两端的 n1 的系数，可得
这些 项中 不含
(1)(a11 a22 ann )
(1)( 1 2 n )
即 1 2 n a11 a22 ann .
n n 1
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例
已知矩阵
的特征值为1 1, 2 3 2.
第六章 矩阵特征值问题
一、方阵特征值与特征向量的概念 定义 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n 维非零列向
Ax x 成立， 那么这样的数 称为方阵 A 的特征值；
非零向量 x 称为方阵 A 的对应于特征值 的特征向量. 注意： 量 x 使关系式
关系式 Ax x 是特征值与特征向量满足的条件式， A 由此可知 必须为方阵. 零向量显然满足关系式 Ax x ，但零向量不 是特征向量. 特征向量是非零向量.
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例 求矩阵
2 1 1 A 0 2 0 4 1 3 的特征值和特征向量. 解：A 的特征多项式 2 1 1 2 1 E A 0 2 0 ( 2) 4 3 4 1 3
( 2)(2 2) ( 1)( 2)2
(E A) x 0
的全体非零解就是 A的对应于特征值 的全部特征向量； 齐次方程 (E A) x 0 的基础解系就是对应于 特征值 的全体特征向量的极大无关组.
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练习：
设矩阵A满足 2 I A 0, 则 A必有的一个特征值为________ .
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可计算 A 与 AT 有相同的特征值
1 2, 2 3.
1 但易验证 是 A 对应于特征值2的特征向量, 1 T 但却不是 A 的.
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定理1：设 n 阶方阵 A aij 的 n 个特征值为 1 , 2 , , n 则

1)
3 1 0 2E A 4 1 0 1 0 0
r
1 0 0 0 1 0 0 0 0
所以对应于1 2 的全部特征向量为 kp1 ( k 0).
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当 2 3 1 时，解齐次方程
， ( E A) x 0
EA
2 1 0 4 2 0 1 0 1
r
1 0 1 0 1 2 0 0 0
1 得基础解系 p2 2 , 1
所以对应于2 3 1的全部特征向量为 kp2 (k 0).
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当 1 2 时，对应的特征向量应满足
2 3 1 x1 0 1 2 3 x 0 2 x1 x2 0, 1 即 解得 x1 x2 , 得基础解系 p1 , 1 x1 x2 0.
1 4
1
2
3
2
( 2)( 2 1) ( 2)( 1)
所以 A的特征值为 1 2, 2 3 1.
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当 1 2 时，解齐次方程 ( 2 E A) x 0 ，
0 得基础解系 p1 0 , 1
令 0，即得 12 n A . 另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的 n n 1 展开式中，只有对角元之积含有 和 .
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( a11 )( a22 )( ann ) ( 1 )( 2 )( n )
若f ( A) 0 f ( ) 0. 实际上这里多项式幂可推广为所有整数
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例 设3阶矩阵
A的特征值为 1,1,2, 求 A 3 A 2 E . A的全部特征值之积.

解 方阵 A的行列式=
因为的特征值为 1,1,2 ，全不为0， 所以 A可逆，且 A 2,
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3 1 例 求矩阵 A 1 3 的特征值和特征向量. 解： A 的特征多项式
3 1 E A 1 3 ( 3)2 1 2 6 8
( 2)( 4)
所以 A 的特征值为 1 2, 2 4.
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性质2： A 的特征值是 ， x 是 A 的对应于 的特征向量，则 若
(1) kA 的特征值是 k . ( k 是任意常数) (2) Am 的特征值是 m . ( m 是正整数) (3) 若 A 可逆，则 A1 的特征值是 1 . 1 A 的特征值是 A . 且 x 仍然是矩阵 kA, Am , A1 , A m 1 1 分别对应于 k , , , A 的特征向量。 (4) f ( x ) 为x的多项式，则 f ( A) 的特征值为 f ( ).
r
1 0 1 0 1 0 0 0 0
所以对应于1 1 的全部特征向量为 kp1 ( k 0).
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当 2 3 2 时，解齐次方程 ( 2 E A) x 0，
1 得基础解系 p2 0 , 4
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方阵 A 的与特征值 对应的特征向量不唯一.
若 1 和 2 都是属于特征值 的特征向量,则
k11 k2 2 0 也是属于特征值 的特征向量.
即,属于特征值 的特征向量的非零线性组合 仍是 的特征向量. 一个特征向量只能属于一个特征值.
0 E A 0
0
是代数方程 E A 0 的根.
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以 为未知数的一元 n 次方程
E A 0
称为方阵 A 的特征方程. 以 为变元的 n 次多项式 E A ，即
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n f ( ) E A an1 an 2 ann
显然有