湖南省长沙一中2015届高三月考试卷（一） 数学（理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、若集合M ={}1,2，N ={}1,2,3，P ={},,x x ab a M b N =∈∈，则集合P 的元素个数为（ ）C A 、3 B 、4 C 、5 D 、62、在南京青运会体操跳马比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次。

设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员没有站稳”可表示为（ ）DA 、p q ∨ Ｂ、()p q ∨⌝ C 、()()p q ⌝∧⌝ D 、()()p q ⌝∨⌝3、如右图所示方格纸中有定点O 、P 、Q 、E 、F 、G 、H ，则OP OQ + 等于（ ）DA 、OGB 、OHC 、EOD 、FO【解析】如图，以O 为坐标原点建立直角坐标系，则OP OQ +()()()2,24,12,3=--+-=-=FO 。

4、复数()()32m i i +-+（m R ∈，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（ ）B A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限5、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后， 输出的()31,72S ∈，则n 的值为（ ）BA 、5B 、6C 、7D 、8 6、若()112xf x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，0x 是()0f x =的一个实根，()10,x x ∈-∞， ()20,0x x ∈，则（ ）AA 、()10f x >，()20f x <B 、()10f x >，()20f x >C 、()10f x <，()20f x >D 、()10f x <，()20f x <7、若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位得到()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）CA 、8πB ．4π C 、38π D 、34π8、设,x y R ∈，p ：x y >，q ：()sin 0x y x y -+->，则p 是q 的（ ）CA 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】构造函数()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x =+≥＇恒成立，于是()f x 在R 上单调递增； 而()00f =，所以()00f x x >⇔>。

因此()()sin 00f x y x y x y x y -=-+->⇔->。

9、当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）CA 、31,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B 、1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C 、31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D 、35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦10、已知()1,0A ，点B 在曲线G ：()ln 1y x =+上，若线段AB 与曲线M ：1y x=的交点恰好为AB 的中点，则称B 为曲线G 关于M 的一个关联点，记曲线G 关于M 的关联点的个数为a ，则（ ）BA 、0a =B 、1a =C 、2a =D 、2a > 【解析】方法一、依题意，可设点B 的坐标为()()00,ln 1x x +，则AB 中点C 的坐标为()0011,ln 122x x +⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由关联点的意义，点C 在曲线M 上，即()0012ln 121x x +=+，亦即()()001ln 14x x ++=。

设()ln x x x ϕ=，则()ln 1x x ϕ=+＇；令()0x ϕ>＇，解得1x e >；令()0x ϕ<＇，解得10x e <<； 于是函数()ln x x x ϕ=在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又当01x <<时，()ln x x x ϕ=0<，所以()4x ϕ=有唯一解。

故()()001ln 14x x ++=有唯一解。

从而曲线G 关于M 的关联点有且只有1个。

方法二、同法一，得()0012ln 121x x +=+，即()004ln 101x x +-=+。

构造函数()4ln x x xσ=-，则()x σ在()0,+∞上单调递增，且()14σ=-，()4ln410σ=->， 于是由()()140σσ<及单调性可知()x σ有唯一零点。

从而方程()004ln 101x x +-=+有唯一解，故曲线G 关于M 的关联点有且只有1个。

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

）11、已知角α的终边经过点()4,3-，则sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭= ；45-12、已知142a =，lg x a =，则x = ；13、若()f x =2132x x -，则满足()0f x <的x 取值范围为 ；()0,114、已知,,a b c 均为单位向量，且满足0a b ⋅=，则()()a b c a c ++⋅+的最大值是 ；215、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1,1,2,3,5,8,13，……其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。

该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性。

比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越接近黄金分割比0.6180339887…，人们称该数列{}n a 为“斐波那契数列”。

若把该数列{}n a 每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{}n b ，则： （1）在数列{}n b 中，第2014项的值是 ；3（2）数列{}n b 中，第2014个值为1的项的序号是 。

4027三、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本小题满分12分）已知函数()2cos 2sin f x x x x a -+，a R ∈。

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围。

【解析】（Ⅰ）()2cos 2sin f x x x x a -+122cos 2122x x a ⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭2s i n 216x a π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭。

…………………4分 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==； …………………5分 又由22222k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈）解得36k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈），所以函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）。

…………………7分（Ⅱ）令()0f x =得2sin 2106x a π⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，即12sin 26a x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为x R ∈，所以22sin 226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，从而12sin 26a x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭[]1,3∈-。

由于函数()f x 有零点，故实数a 的取值范围为[]1,3-。

…………………12分17、（本小题满分12分）已知圆内接四边形ABCD 的边AB =1，BC =3，CD =DA =2。

（Ⅰ）求角C 的大小和BD 的长；2222cos 1312cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=-，…………① 2222cos 54cos BD AB DA AB DA A C =+-⋅=+，……………②由①②得1cos 2C =，故60C =，相应的BD =7分（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果及题设，可知四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD BCDS SSAB DA A BC CD C =+=⋅+⋅ ()112232=⨯+⨯= …………………10分 由正弦定理，可得四边形ABCD的外接圆的半径2sin 603BD R ==。

…………………12分18、（本小题满分12分）某工厂的统计资料显示，产品次品率p 与日产量n （千件）（n N +∈，且198n ≤≤）（Ⅰ）将该厂日盈利额T （千元）表示为日产量n （千件）的函数关系式； （Ⅱ）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少千件？【解析】（Ⅰ）由题意得2100p n=-（n N +∈，且198n ≤≤），所以，在日产量n 千件中，次品有pn 千件，正品有（n pn -）千件，于是日盈利额()()4100n T n a n pn apn a n n ⎛⎫=--=- ⎪-⎝⎭（n N +∈，198n ≤≤）（千元）。

…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），()()4400104100100100T n n n n a n n ⎡⎤=-=--+⎢⎥--⎣⎦， 注意到()40010040100n n -+≥=-，所以()()4001041001044064100T n n a n ⎡⎤=--+≤-=⎢⎥-⎣⎦，即()64T n a ≤。

（其中等号当且仅当400100100n n-=-，即80n =时成立。

）故当80n =，即该厂的日产量定为80千件时，获得的盈利最大。

……………………12分19、（本小题满分13分）数列{}n a 满足：11a =，22a =，2221cos sin 22n nn n a a ππ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，n N +∈。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设212n n na b a -=，12n n S b b b =+++，证明：2n S <（n N +∈）。

【解析】（Ⅰ）∵11a =，22a =，∴由题设递推关系式，有223111cos sin1222a a a ππ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭， ()224121cos sin 24a a a ππ=++==。

一般地，当21n k =-（k N +∈）时，()()2221212121211cos sin 122k k k k k a aa ππ+----⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦，即21211k k a a +--=。

所以数列{}21k a -是首项为1公差为1的等差数列，因此21k a k -=。

……………3分当2n k =（k N +∈）时，222222221cos sin 222k k k k k a a a ππ+⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦， 所以数列{}2k a 是首项为2公比为2的等比数列，因此22k k a =。

………………5分故数列{}n a 的通项公式为()()21,21,22,2,n n n n k k N a n k k N +++⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩。