[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解析：选B.对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.2．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：选C.对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n 在平面α内．故选C.3．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合解析：选C.如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.4.如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形解析：选B.由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD ，又EF ⊄平面BCD ，所以EF ∥平面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG 綊12BD ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG .所以四边形EFGH 是梯形．5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点，给出下列四个推断：①FG ∥平面AA 1D 1D ； ②EF ∥平面BC 1D 1； ③FG ∥平面BC 1D 1； ④平面EFG ∥平面BC 1D 1. 其中推断正确的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④解析：选A.因为在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点，所以FG ∥BC 1，因为BC 1∥AD 1，所以FG ∥AD 1，因为FG ⊄平面AA 1D 1D ，AD 1⊂平面AA 1D 1D ，所以FG ∥平面AA 1D 1D ，故①正确； 因为EF ∥A 1C 1，A 1C 1与平面BC 1D 1相交，所以EF 与平面BC 1D 1相交，故②错误； 因为E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点，所以FG ∥BC 1，因为FG ⊄平面BC 1D 1，BC 1⊂平面BC 1D 1， 所以FG ∥平面BC 1D 1，故③正确；因为EF 与平面BC 1D 1相交，所以平面EFG 与平面BC 1D 1相交，故④错误．故选A. 6．在四面体A -BCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．解析：如图，取CD 的中点E ，连接AE ，BE ， 则EM ∶MA ＝1∶2， EN ∶BN ＝1∶2， 所以MN ∥AB .因为AB ⊂平面ABD ，MN ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ， 所以MN ∥平面ABD ，MN ∥平面ABC . 答案：平面ABD 与平面ABC7．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ， 所以EF ∥AC ，所以F 为DC 的中点． 故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 28.如图所示，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是 BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，FH ∩HN ＝H ，DD 1∩BD ＝D ，所以平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ， 所以MN ∥平面B 1BDD 1.答案：点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合)9.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.(1)求证：四边形AEC 1F 为平行四边形； (2)求BF 的长．解：(1)证明：由已知得平面ABE ∥平面DCC 1F ，平面AEC 1F ∩平面ABE ＝AE ，平面AEC 1F ∩平面DCC 1F ＝C 1F ，所以AE ∥C 1F ，同理可得AF ∥C 1E ，所以四边形AEC 1F 是平行四边形． (2)在CC 1上取点H ，使CH ＝1，可得四边形BCHE 为矩形，即可得四边形ADHE 为平行四边形，所以DH ∥AE ，AE ∥FC 1，所以四边形FDHC 1为平行四边形，所以FD ＝3－1＝2，所以BF＝BD2＋DF2＝2 6.10．如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.[综合题组练]1．(创新型)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.由题图，显然①是正确的，②是错的； 对于③因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ， 所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ， 所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)． 所以③是正确的；因为水是定量的(定体积V )． 所以S △BEF ·BC ＝V ， 即12BE ·BF ·BC ＝V . 所以BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.2．(应用型)在三棱锥S -ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝12，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且它们分别是AB ，BC ，SC ，SA 的中点，那么四边形DEFH 的面积为( )A ．18B ．18 3C ．36D ．36 3 解析：选A.因为D ，E ，F ，H 分别是AB ，BC ，SC ，SA 的中点，所以DE ∥AC ，FH ∥AC ，DH ∥SB ，EF ∥SB ，则四边形DEFH 是平行四边形，且HD ＝12SB ＝6，DE ＝12AC ＝3.如图，取AC 的中点O ，连接OB ，SO ，因为SA ＝SC ＝12，AB ＝BC ＝6，所以AC ⊥SO ，AC ⊥OB ，又SO ∩OB ＝O ，所以AO ⊥平面SOB ，所以AO ⊥SB ，则HD ⊥DE ，即四边形DEFH 是矩形，所以四边形DEFH 的面积S ＝6×3＝18，故选A.3．(应用型)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点，点P 在BD 1上且BP ＝23BD 1.则以下四个说法：①MN ∥平面APC ； ②C 1Q ∥平面APC ； ③A ，P ，M 三点共线； ④平面MNQ ∥平面APC .其中说法正确的是________(填序号)．解析：①连接MN ，AC ，则MN ∥AC ，连接AM ，CN ，易得AM ，CN 交于点P ，即MN ⊂平面APC ，所以MN ∥平面APC 是错误的； ②由①知M ，N 在平面APC 上，由题易知AN ∥C 1Q ，AN ⊂平面APC ， 所以C 1Q ∥平面APC 是正确的； ③由①知A ，P ，M 三点共线是正确的； ④由①知MN ⊂平面APC ， 又MN ⊂平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面APC 是错误的． 答案：②③4.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a3，过B 1，D 1，P 的平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________．解析：因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥PQ .又因为B 1D 1∥BD ，所以BD ∥PQ ， 设PQ ∩AB ＝M ，因为AB ∥CD ， 所以△APM ∽△DPQ .所以PQ PM ＝PDAP ＝2，即PQ ＝2PM .又知△APM ∽△ADB ， 所以PM BD ＝AP AD ＝13，所以PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，所以PQ ＝223a .答案：223a5．(应用型)在如图所示的多面体中，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AD ＝4DE ＝4.(1)在AC 上求作点P ，使PE ∥平面ABF ，请写出作法并说明理由； (2)求三棱锥A -CDE 的高．解：(1)取BC 的中点G ，连接DG ，交AC 于点P ，连接EG ，EP .此时P 为所求作的点(如图所示)．下面给出证明：因为BC ＝2AD ，G 为BC 的中点， 所以BG ＝AD . 又因为BC ∥AD ，所以四边形BGDA 是平行四边形， 故DG ∥AB ，即DP ∥AB .又AB ⊂平面ABF ，DP ⊄平面ABF ， 所以DP ∥平面ABF .因为AF ∥DE ，AF ⊂平面ABF ，DE ⊄平面ABF ， 所以DE ∥平面ABF .又因为DP ⊂平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，PD ∩DE ＝D ， 所以平面PDE ∥平面ABF ， 因为PE ⊂平面PDE ， 所以PE ∥平面ABF .(2)在等腰梯形ABCD 中，因为∠ABC ＝60°，BC ＝2AD ＝4， 所以可求得梯形的高为3，从而△ACD 的面积为12×2×3＝ 3.因为DE ⊥平面ABCD ， 所以DE 是三棱锥E -ACD 的高． 设三棱锥A -CDE 的高为h .由V A ­CDE ＝V E ­ACD ，可得13×S △CDE ×h ＝13S △ACD ×DE ，即12×2×1×h ＝3×1，解得h ＝ 3.故三棱锥A -CDE 的高为 3.6．如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形．(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；(2)若平面ABCD ∩平面B 1D 1C ＝直线l ，证明B 1D 1∥l . 证明：(1)由题设知BB 1綊DD 1， 所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形， 所以BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1， B 1D 1⊂平面CD 1B 1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綊B1C1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.。