平面向量一. 教学内容：平面向量二. 教学重点、难点及教学要求：1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2. 掌握向量的加法和减法。
3. 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4. 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5. 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度、垂直等问题，掌握向量垂直的条件。
6. 掌握两点间距离公式，以及线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。
三. 知识串讲（一）向量的基本运算1. 有关概念（1）向量—既有大小又有方向的量叫做向量常用有向线段表示向量向量二要素方向长度⎧⎨⎪⎩⎪（）向量的长度（模）—有向线段的长度或2||||AB a→→长度等于的向量叫做单位向量，1aaa→=→→||长度为的向量叫做零向量，记作00→（3）共线向量（平行向量）—方向相同或相反的向量叫做平行向量（即共线向量）。
（）相等的向量—长度相等且方向相同的向量叫做相等的向量，4a b→=→零向量与零向量相等，00→=→向量可以在平面（空间）平行移动而不变。
规定：零向量与任一向量平行。
［练习］如图，、、分别是△各边的中点，写出图中与、、D E F ABC DE EF DF →→→相等的向量，并写出向量的相反向量即与长度相同方向相反的向量DE DE →→()2. 向量的加法、减法与数乘。
（1）向量的加法是用三角形法则来定义的。
也可以用平行四边形法则求，当与不共线时，两个法则是一致a b a b →+→→→的，而与共线时，平行四边形法则就不适用了a b →→例如：求a b c →+→+→如图：向量的多边形法则：多个向量相加，将它们顺序“头尾相接”，则以第一个向量的起点为起点，以最后一个向量的终点为终点的向量，即为这多个向量的和向量。
（）向量的减法：向量加上的相反向量，即2a b a b a b →→→-→=→+-→()（3）实数与向量的积λλλλλλλλa a a a a a a a →→=→>→<→=→=→→→⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪长度方向：时，与同向；时与反向；时，，∥||||||0000（）设向量，，及实数，，满足：4a b c →→→λμ ①a b b a →+→=→+→②()()a b c a b c →+→+→=→+→+→ ③a b a b →-→=→+-→() ④·λμλμ()()a a →=→ ⑤()λμλμ+→=→+→a a a ⑥λλλ()ab a b →+→=→+→ ⑦||||||λλa a →=→⑧±||||||||||a b a b a b →-→≤→→≤→+→（此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式）（）向量与非零向量共线（平行）有且只有一个实数，使得5b a →→⇔λ b a →=→λ（）平面向量基本定理（向量的分解定理），是同一平面内的两612e e →→个不共线向量，那么对该平面内任一向量，存在唯一实数对，，使得a →λλ12a e e →=→+→λλ1122这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一对向量的和，叫做向量，的线性组合。
，叫做表示这一平面内λλ11221212e e e e e e →+→→→→→所有向量的一组基底。
注：①基底不唯一，关键是不共线；②基底给定，分解形式唯一⎧⎨⎩［练习］1.如图，平行四边形的两条对角线相交于点，且，，ABCD M AB a AD b →=→→=→用，表示，，和a b MA MB MC MD →→→→→→解：在平行四边形ABCD 中∵，AC a b DB a b →=→+→→=→-→∴MA AC a b a b→=-→=-→+→=-→-→12121212()∴MB DB a b a b→=→=→-→=→-→12121212()MC AC a b a b→=→=→+→=→+→12121212() MD BD DB a b a b→=→=-→=-→-→=-→+→1212121212() 21.设，不共线，点在上，求证：·且，OA OB P AB OP OA OB →→→=→+→+=λμλμλμ，∈R分析：∵点在上，可知与共线，得，再用以为起点P AB AP AB AP t AB O →→→→=→的向量，表示OA OB →→证明：∵A 、P 、B 三点共线可知与共线，AP AB →→则存在唯一实数t ，使得AP t AB →=→∴OP OA t OB OA →-→=→-→()即，令，OP t OB t OA t t →=→+-→==-()11μλ 则··且OP OA OB →=→+→+=λμλμ1注意：这是一个充分必要条件命题，可判定三点共线。
3121212.e e a e k e b k e e a b →→→=→+→→=→+→→→⇔，是不共线的向量，，，则∥_______________分析：∵与共线平行存在实数，使，即a b m a m b e k e →→⇔→=→→+→()12 =→+→→→mk e m e e e 1212，又，不共线 ∴±11==⎧⎨⎩⇒=mk k m k（二）向量的坐标运算1.在直角坐标系内，分别取与轴，轴同方向的两个单位向量，作x y i j →→为基底，则任一向量，有且只有一对实数，使得，称a x y a x i y j →→=→+→()()()x y a a x y ，叫做向量的直角坐标，记作，——向量的坐标表示→→=如图，当把向量的起点移至原点时，，是向量终点的坐标a x y a OA A →→=→() 即，与相等的向量的坐标也是，A x y a x y ()()→21122.()()已知，，，，a x y b x y R →=→=∈λ 则a b x i y j x i y j →+→=→+→+→+→()()1122 =+→++→()()x x i y y j 1212 ∴，，a b x x y y →+→=++()1212a b x x y y a x y x y →-→=--→==()()()12121111，，，，λλλλ3. 向量平行的坐标表示a x yb x y b a b →=→=→→→→⇔()()11220，，，，≠，则由∥存在一实数使λ a b x y x y →=→=λλ，即，，()()1122 即消去x x y y x y x y 121212210==⎧⎨⎩⇒-=λλλ ∴∥≠a b b x y x y →→→→⇔-=()0012214111222.()()()线段的定比分点，，，，分点，P x y P x y P x y设，是直线上的两点，点是上不同于，的任意一点，若存在一P P l P l P P 1212实数，使，则叫做点分有向线段所成的比λλλP P PP P P P 1212→=→→（在线段上时，；点在或的延长线上时，）P P P P P P P P 12122100λλ><则≠，xx xyy y=++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-1212111λλλλλ()若中点，则P P Pxx xyy y12121222=+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪（三）平面向量的数量积1. 数量积的概念∠，，°°叫做向量与的夹AOB OA a OB b a b =(→=→→=→≤≤→→θθ)0180角，记作，<→→>a b（）已知两个非零向量，它们的夹角为，则数量·叫1a b a b→→→→θθ||||cos做与的数量积或内积，记作·即··a b a b a b a b→→→→→→=→→()||||cosθ规定：零向量与任一向量的数量积为零。
（）数量积的几何意义：数量积·等于的模与在的方2a b a a b a→→→→→→||向上的投影的乘积||cosb→θ2. 运算法则：（）··，··1000a b b a a a→→=→→→→=→→=（）···2()()()λλλa b a b a b→→=→→=→→（）···3()a b c a c b c→+→→=→→+→→（）设，，，，则··411221212a x y b x y a b x x y y →=→=→→=+()()3. 重要性质（）设是单位向量，，则···1e a e e a a e a →=<→→>→→=→→=→θθ||cos （）⊥··2001212a b a b x x y y →→⇔→→=⇔+=（）∥··或··3a b a b a b a b a b →→⇔→→=→→→→=-→→||||||||a a a a a a a x y →→=→→=→→=→=+·即·||||2222（）··4cos ||||θ=→→→→a ba b（）··5||||||a b a b →→≤→→（四）平移设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有点按照同一方向，移动同样长度，得到图形F'，这一过程叫做图形的平移。
设，，，，，P x y P x y PP h k ()'('')'()→= 由OP OP PP ''→=→+→⇒=+⇒=+=+⎧⎨⎩('')()()''x y x y h k x x hy y k ，，，—平移公式【典型例题】例1. 若非零向量，满足，则与所成角的大小为αβαβαβαβ→→→+→=→-→→→||||___________。
解析：由可画出几何图形，如图：||||αβαβ→+→=→-→||||αβαβ→+→→→-→表示平行四边形的对角线的长度，表该平行四边OACB OC 形，另一条对角线的长度BA →由已知||||OC BA →=→得平行四边形OACB 为矩形，所以与所成的角为°αβ→→90注：本题考查向量的概念，几何意义，向量的几何运算，等基本知识例2. 化简以下各式：①；AB BC CA →+→+→ ②；AB AC BD CD →-→+→-→ ③；OA OD AD →-→+→④NQ QP MN MP →+→+→-→结果为零向量的个数是（） A. 1 B. 2C. 3D. 4解析：对于①AB BC CA AC CA →+→+→=→+→=→0 ②AB AC BD CD AB BD AC CD →-→+→-→=→+→-→+→()()=→-→=→AD AD 0③；OA OD AD DA AD →-→+→=→+→=→0或OA OD AD OA AD OD OD OD →-→+→=→+→-→=→-→=→()0④NQ QP MN MP →+→+→-→=→+→+→()NP PM MN=→+→=→NM MN 0答案：D例3. 已知是△的重心，求证：G ABC GA GB GC →+→+→=→分析：由三角形重心的性质，GA ＝2GD ，GB ＝2GE ，GC ＝2GF ，和向量加法的平行四边形法则，不难证明。