相似三角形
一、知识点梳理 ★知识点一：比例线段
1、比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例，通常我们把
a, b,c,d 四
a c
个实数成比例表示成：
或者a : b=c ： d ,期中b ， c 称为比例内项，a ，d 称为比例外项。
b d
a c a
c
等式两边同乘以 bd ，可得ad=bc ，反过来等式 ad=bc 同除以bd ，可得 =一
b d
b d
2、比例线段：在四条线段 a,b,c,d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比, a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段。
a b
3、比例中项：如果三个数a, b, c 满足比例式
，那么b 叫做a 、c 的比例中项， 此时有b = ac 。
b c
那么这四条线段
4、黄金分割：如果点 P 把线段AB 分成两条线段 AP 和
PB,使
AP
AP 帀，那么称线段AB 被点P 黄
金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，比值叫做黄金比。
全二长二
〜
0.618
2
5、比例式变形:
a c a_
b c_d
b d - b
或旦亠
b b d
a c
” ■ * *
b _d 一
=b ，（交换内项）
c
-交换外项）
b a
d
聖•（同时交换内外项）
c a
3，那么a r e a 仁如果b = 3
a +
b 卄 a 3 “a + b“,+ 0 2、若，贝U 的值是 b 5 b
8 3 3
B C 、- D
5 5 2
3、若 4x=5y,则 x : y = 例
4、
x —yz yz_x
5、已知g = y ，则j 的值为
13 7 y
例6、如果x : y :z = 1 : 3 : 5,那么
x 3y z x_3y z
a 2
7、如果a = 2，且a =2,b =3，那么
b 3 a -b 1 a b -5
a b b c c a +
例9、已知 = =
=x ，求x
cab
★知识点二：相似三角形
1、定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
如厶ABC W^ DEF 相似，记作△ ABCDEF
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
★知识点三：相似三角形的判定
1、 定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似.
2、 平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边
（或两边的延长线）相交，所构成的三角 形与原三角形
相似. 3、 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似•简述为：两角对应相等，两三角形相似. 4、 判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似•简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 5、 判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似•简述为：三边对应成比例，两三角形相似. 相似三角形的几种基本图形：
（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“
A 型”与“ X 型”图）
⑵ 如图：其中/ 仁/2，则△ AD0A ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角
型”、
“反A 共角共边型”、 “蝶型”）
例8、如果-=1
a b
上=2，那么 c
2x
-
3y z 2 a -3b c
（3） 如图：称为“垂直型”
（有“双垂直共角型” “双垂直共角共边型（也称“射影定理型”
\ ” CC ——-TT?.
)
三垂
直型”）
E
C
C
⑷ 如图：/仁/2，/ B=Z 。
，则厶AD3A ABC 称为“旋转型”的相似三角形。
例1、如图，△ AB3A AED,其中DE// BC 写出对应边的比例式。
例 2、如图，已知△ AB GA ADE AE=50 cm , EG=30 cm , / ACE =40°，求：1）Z AED 和/ ADE 的度数；2） DE 的长。
例3、如图，小正方形的边长均为 1,则下列图中的三角形（阴影部分）与厶ABC 相似的是（）
例4、如图所示，已知 DABCD 中，E 为AB 延长线上的一点， AB=3BE DE 与 BC 相交于F ,请找出图中各
例5、已知：如图正方形 ABCD 中, P 是BC 上的点，且BP=3PC Q 是CD 的中点.
例6、已知：如图， AD >^ ABC 的高，E 、F 分别是 AB AC 的中点. 求证：△ DF0A
ABC
对相似三角形，并求出相应的相似比
求证：△ ADQ^A
QCP
D
A
(A) (B)
(C)
(D)
★知识点四：
相似三角形的性质及其应用
(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例.
(2) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (3) 相似三角形周长的比等于相似比.
⑷相似三角形面积的比等于相似比的平方.
例1、△ AB3
A DEF 若厶ABC 的边长分别为 5cm 、6cm 、7cm,而4cm 是厶DEF 中一边的长度，你能求出△ DEF 的另外两边的长度吗？试说明理由
.
例 2、△ ABC 中, DE// BC, M 为 DE 中点，CM 交 AB 于 N,若 _「 一一，求」一 •
例3、如图，已知 AB// CD// EF,AC=CE=EP A PAB 的面积为18 cm 2，求四边形 CDEF 的面积。
S ABC -a ,求 LDFCE 的面积。
例5有一块三角形的余料 ABC 它的边长BC=120mm 高AD=80mm 要把它加工成正方形零件，使正方形 的一边在BC 上，其余两个顶点分别在 AB,AC 上，问加工成的正方形零件的边长为多少
mn ?
例4、如图，在△ ABC 在边中，点
D,E,F 分别在边
AB,AC,BC 上, DE// BC,DF // AC.已知
AD =2
BD 3
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