注：本试题来源于 16 年南开数学学院考研群的晴天。
考试科目：数学分析
第1页 共1页
4. (15 分) 求 f (x, y) = 9x2 + 6xy + 4y2 − 12y 在闭域 D : {(x, y)|9x2 + 6y2 ≤ 36} 内的最大 值.
5. (15 分) fn(x) 在 I 上一致连续, 且 fn(x) 一致收敛于 f (x). 证明: f (x) 在 I 上一致连续.
南开大学
2016 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：数学分析
考生须知： 1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟； 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 ————————————————————————————————————————
6.
(15 分) 证明:
f (x)
在
(0, +∞)
上非负. 对 ∀A > 0, x f (x) 在 [0, A]
lim
A→+∞
1 A
∫A
0
xLeabharlann f(x)dx
=
0.
内可积且
∫ +∞
0
f (x)dx
收敛.
7. (20 分) 求极限
lim
x→+∞
x2
[( 1
+
x
1 +
)x+1 1
−
( 1
+
1 )x] x
.
8.
1. (15 分) 求定积分
∫e
xn ln xdx, n ∈ Z.
1
2. (20 分) 求曲线积分
∫
x2 − yzds,
L
其中 L 是 x + y + z = 0 与 x2 + y2 + z2 = 1 的交线.
3. (15 分) 求 的收敛域与和函数.
∑∞
1 ( x )2n+1
n=0 2n + 1 2 + x
(20
分)
设
f (x, y)
二阶可偏导,
{ D = (x, y)| x2 + y2
} <1
且
∂2 f ∂x2
+
∂2 f ∂y2
= 1.
求证:
∫∫
(
)
x
∂f ∂x
+
y
∂f ∂y
dxdy =
π 4.
D
9. (15 分) 已知 f (x) 在 [0, 1] 连续, 在 (0, 1) 可导, 且 f (x) = f (x + 1), f (0) = 0, f ′(x) 单调 递减. 对 ∀x 和 ∀n ∈ Z, 求证: f (nx) ≤ n f (x).