0 1
f (x) dx = 0，证明： ∫
0 1
∫
0
1
∫ |f (x)| dx ·
0
1
|f ′ (x)|dx < 2
f 2 (x)dx
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2 2 2 S
(√
) √ 2 2 ,− ,0 ， 动点 P 在曲面 x2 +2y 2 +3z 2 = 1， 2 2
求方向导数
∂f |(P ) 的最大值. ∂l
∞ ∑ xn √ 五.(20 分) 求幂级数 的收敛区间. n n! n=1
六.(15 分) 证明广义积分
∫
0
பைடு நூலகம்+∞
sin x dx 2x + 3 sin x
南开大学 2019 年数学分析试题真题
(考试时间：2018 年 12 月 23 日上午 8:30-11:30) (16 数学 − 胡八一) 微信公众号：数学的情怀 & 数专考研小 K 真题 考试形式: 闭卷
一.(15 分) 求极限
n→∞
考试时间: 180 分钟
[ lim ] 1 −n ln (n + 1) − ln n
∞ ∑ n=1
收敛. 七.(20 分) 设 fn (x) 是区间 I 上的函数 (n = 1, 2, · · · )，且
2 fn (x) 在区间 I 上逐点收敛和函数在 I 上有
∞ ∑ 1 fn (x) 在区间 I 上一致收敛. 界，试证：当 p ∈ ( , ∞) 时，函数项级数 2 np n=1
八.(15 分) 已知 α, β 均为正实数，且 max {α, β } > 1，试证： ∫ x 1 lim dt = 0 α x→+∞ 1 x + tβ ∫ 九.(15 分) 设函数 f (x) 在 [0, 1] 上连续可微且不恒等于 0，且
满分: 150 分
二.(15 分) 若 a > 0, 求 x2 + y 2 = a(z − 1)2 与平面 z = 0 所围成图形的立体体积. ∫∫ 三.(20 分) 求曲面积分 y 2 z dxdy + xz dy dz + x2 y dxdz ， 其中 S 是由曲面 z = x2 + y 2 与曲面 x2 + y 2 = 1 以及三坐标面在第一象限所围立体的外侧. 四.(20 分) 设函数 f (x, y, z ) = 2x +2xy +2y −3z ，l =