数列递推关系与单调
性
Revised on November 25, 2020
数列递推关系与单调性
数列与函数的关系：类比函数（单调性与周期性） 求数列的通项公式：法一：直接求n a ；法二：先求n S ，再求n a ，要注意n 的变化
一．线性的
1.已知21n n S a =+ 求n a
2.已知21n n S a =+ 求n a
3.已知111,22n n a S a +==+，求n a 注意序号的变化
二．非线性的
1.已知0n a >，2
22n n n S a a =+-；求n a
2.已知0n a >，2
42n n n S a a =+，求n a
3.已知0n a >，1
2n n n
S a a =+，求n a
总结：（1）11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩这主要是解题的步骤；（2）决策好先求n a 还是
n S ;（3）()n n S f a =与1()n n S f a +=的区别
递推关系：
（1）1()n n a a f n +=+
Exe1.已知11a =，1n n a a n +=+，求n a
2.已知11a =，12n n n a a +=+，求n a
3.已知11a =，12n n n a a n +=++，求n a
4.已知11a =，11
(1)n n a a n n +=++，求n a
（2）1()n n a a f n +=
Exe1.已知11a =，11
n n
n a a n +=+，求n a 2.已知11a =，12n n n a a n ++=，求n a 3.已知11a =，1n n a na +=，求n a
（3）1n n a Aa B +=+ （1A ≠） Way1:1()11n n B B a A a A A +-=--- Way2. 111n n n n n a a B A
A A +++=+ 已知11a =，121n n a a +=+，求n a
2.已知11a =，131n n a a +=+，求n
a 3.已知11a =，152n n a a +=+，求n
a （4）1()n n a Aa f n +=+ (1)A ≠
分为两类：1.()f n pn q =+ 2.()n f n q =
1.1n n a Aa pn q +=++
Way1.⇒（1）：：：111n n n n n a a pn q A A A
++++=+ Way2.⇒（2）：：：1(1)()n n a x n y A a xn y +-+-=-- Exe1.已知111,2n n a a a n +==+，求n a
2.已知111,321n n a a a n +==++，求n a
2.
Exe1.已知111,23n n n a a a +==+，求n a
2.已知111,32n n n a a a +==+，求n a
3.已知111,22n n n a a a +==+，求n a
4.已知111,232n n n a a a +==++，求n a
5.已知111,231n n n a a a n +==+++，求n a
（5）1()()n n a f n a p n +=+ Way:::(1)()()
h n f n h n += Exe1.已知11111,n n n a a a n n
++==
+，求n a 2.已知111,1n n n a a a n n +==++，求n a （6）21n n n a Aa Ba ++=+；
Way1.：：： 化三项为两项处理
Way2.:::公式法处理;这个递推关系的二阶特征根方程为2x Ax B =+
（1）当方程有两个不同根12,x x ，
设 2212n a x tx λ=+，其中t 与λ是由首项确定的
（2）当方程有两个相同实数根时12x x =,
设1()n n a n t x λ=+，其中t 与λ是由首项确定的
（3）当方和无解时，它将和周期有关系(sin cos )n n a r A n B n θθ=+
Way3.可以构建方程；1111.......(1) (2)
n n n n n n a a t a a αββλα----⎧-=⋅⎪⎨-=⋅⎪⎩ Exe1. 已知121a a ==，21712n n n a a a ++=-， 求n a
2. 已知121a a ==，2156n n n a a a ++=-， 求n a
3. 已知121a a ==，2144n n n a a a ++=-， 求n a
4. 已知121a a ==，12n n n a a a ++=+， 求n a
（7） (ad bc ≠ ) Way1:找1()n n a f a +=对应的背景函数()y f x =利用函数的不动点()f x x = Way2:利用特征根方程：ax b x cx d
+=+ （1）若有两个不相等的根12,x x ，则12{
}n n a x a x --为等比数列； 1n n n aa b a ca d ++=+
（2）若方和有两个相等的实数解：则1
1{}n a x -为等差数列； （3）若方程没有实数解，则数列{}n a 为周期数列； Exe1.已知11a =，164
n n n a a a +-=-，求n a 2.已知11a =，143
n n n a a a +-=-，求n a 3.已知11a =，111n n a a +=-
+，求n a 4.已知11a =，1383
n n n a a a +-=-，求n a 这里要注意，分式结构的变化很多，它可以：
110n n n n a a Aa Ba C ++⋅+++=就是分式结构的转换， 可以是：110n n n n a a Aa Ba ++⋅++=考查没有常数项，同除以1n n a a +⋅这样就比上面的模型快
（8）()1f n n n a Aa +=
Way:::主要是降幂，取对数；
Exe1.已知11a =，212n n
n a a a +=+，求n a 2.已知11a =，1(1)12n n n n a a
++=，求n a
(9)其它形式 （1）已知11a =，2121n n
a a +=-，求n a （2）已知1()f x x =，((()))()n n f
f f f x f x =个，1()(())n n f x f f x +=，求()n f x
（3）已知11a =，12n n a a n ++=，求n a
（4）11a =，22a =，22(1)13sin 1(1)22
n n n n n n a a a π+-+=+++-，求n a
数列的单调性⇔函数的单调性
（1）{}n a 为单调递增110n n n n a a a a ++⇔>⇔->
（2）{}n a 为单调递减110n n n n a a a a ++⇔<⇔-<
（3）{}n a 为常数列110n n n n a a a a ++⇔=⇔-=
（4）{}n a 为摆动数列
策略：（1）作差与作商，（2）构建函数 Exe1.数列{}n a 满足2n a n n λ=+，且为递增的，求λ的取值范围；
2.数列{}n a 满足32n n n a λ=-⋅，且为递增的，求λ的取值范围；
3.数列{}n a 满足3(2)n n n a λ=-⋅-，且为递增的，求λ的取值范围；
4.判断1111()1232f n n n n n =+++++++的单调性；
5.判断1111()12321
f n n n n n =++++++++的单调性； 6.数列{}n a 满足：1a a =，12n n a a n ++=，若数列{}n a 递增，求a 的取值范围。