HSK－异方差稳健标准差 HSK－异方差稳健t, F, LM统计量
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什么是异方差
同方差假定意味着条件于解释变量，不可观测误 差的方差为常数
如果u 的方差随x变化，那么误差是异方差的。 例子：估计教育回报并且能力不可观测，认为能
力的方差随教育水平变化。
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异方差图示
f(y|x)
wage
对异方差稳健F统计量
在异方差下，常规F统计量不再服从F分布。 HSK－稳健F统计量也称为Wald统计量
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稳健的LM统计量
在有限制模型下进行OLS，保存残差ŭ 将每一个排除变量对全部未排除变量进行回归
（q个回归）并将每一组残差ř1, ř2, …, řq保存 将1向量对ř1 ŭ, ř2 ŭ, …, řq ŭ进行无截矩回归。 LM定义为n – SSR1其中 SSR1 为最后一次回归的
多元回归分析
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u
6. 异方差(Heteroskedasticity，HSK)
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本章提要
OLS中异方差的影响 OLS估计后“对异方差稳健”的统计推断 检验异方差 加权最小二乘估计
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本课提要
什么是异方差 异方差的影响 OLS估计后的“对异方差稳健”统计推断
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异方差存在时的方差
一个简单情况是bˆ1
b1
xi xi
xui x2
，所以对于给定的x，
Var bˆ1 xSiSTxx22i2，其中SSTx xi x2.
当同方差成立时Var(bˆ1)退化为2/SSTx。
White指出，xSiSTxx22uˆi2是Var(bˆj)的一个
无论Var(u|x) = Var(y|x)是否依赖于x，它们 都可以一致地估计总体R平方。
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为何关心异方差？
如果存在异方差，那么估计值的标准差是有偏的。 如果标准差有偏，我们就不能应用通常的t统计
量或F统计量来进行统计推断。
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怎么办？
计量经济学家已经知道如何调整标准差，t，F，
LM量，使得它们当未知形式的异方差存在时仍 然有效。 White（1980）指出，在存在异方差时，方差 V ar( bˆ j ) 也是可以估计的。
的结论可能有很大差异。
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为何要考虑常规标准差？
如果稳健标准差无论异方差存在与否都是适用的， 为什么我们还需要常规标准差？
我们应当注意到，稳健标准差的适用性依赖于大 样本。
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稳健标准差
如果是小样本同方差情形，那么常规的t统计量 精确地服从t 分布，但是这并不适用于稳健标准 差，因此，在这种情况下使用稳健标准差就可能 导致推断错误。
12例子：稳健标准差Fra bibliotek常规标准差 1 Log Wage Equation with Heteroskedasticity-Robust Standard errors
logˆ(wage) 0.321 0.213marrmale 0.198marrfem 0.110 sin gfem
V a r ( bˆ j ) 开平方被称为
对异方差稳健的标准差，或 White标准差，或 Huber标准差，或 Eicker 标准差
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稳健标准差
稳健标准差可以用来进行推断。 有时可以将估计的方差乘以n/(n – k – 1)来修正自
由度 当n → ∞时，没有区别。
(0.059)
(0.147)
(0.141)
[0.059]
[0.118]
[0.110]
n366,R2 0.4006,R2 0.3905.
第 一 行 括 号 中 是 常 规 标 准 差 ， 第 二 行 为 稳 健 标 准 差
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例子：稳健标准差与常规标准差
我们学到了什么？
稳健标准差可能比常规标准差大，也可能小。 但是实证中常常发现稳健标准差要大些。 如果这两种标准差的差异很大，那么统计推断
cumgap1.470.0011s4at0.0085h7sperc 0.0025t0othrs
(0.23) (0.0001)8 (0.0012)4 (0.0007)3
[0.22] [0.0001]9 [0.0014]0 [0.0007]3
0.303femal 0.128black0.059white
..
primar secondary college y
. E(y|x) = b0 + b1x
Education level 5
当存在异方差时…
OLS无偏且一致 R平方和调整后的R平方仍可以很好地度
量拟合优度。
它们是对总体R平方1 – [Var(u)/Var(y)]的估 计，其中的方差是总体中的“非条件”方差。
0.0291tenure 0.00053tenure2
(0.0068)
(0.00023)
[0.0069]
[0.00024]
n 526, R2 0.461
第 一 行 括 号 中 是 常 规 标 准 差 ， 第 二 行 为 稳 健 标 准 差
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2 Heteroskedasticity-Robust F Statistic
在大样本情形下，特别是应用截面数据的时候， 我们推荐报告稳健标准差（或同时报告常规的标 准差）。
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OLS估计后的HSK-稳健推断
记rse为对异方差稳健的标准差
trse=(估计值-假设值)/(异方差稳健的标准差)
b b ( 1 )% C .I. [ˆj cr s e ,ˆj cr s e ]
(0.100) (0.055)
(0.558)
(0.056)
[0.109] [0.057]
[0.058]
[0.057]
0.0789educ 0.268 exp er 0.00054 exp er 2
(0.0067) (0.0055)
(0.00011)
[0.0074] [0.0051]
[0.00011]
合适的估计量，其中uˆi 是OLS残差 .
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异方差存在时的方差
对于多元回归，当异方差存在时，Var(bˆj) 的一个合适的
估计量是Var(bˆj) SSrˆRi2ju2jˆi2，其中rˆij是将xj对其它解释变
量回归时第i个观察值对应的残差，SSRj是辅助方程中的 残差平方和。
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异方差存在时的方差