课时作业(六)1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )A ．y ＝1－x 2B ．y ＝x 2＋xC ．y ＝－－xD ．y ＝x x －1答案 D2．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－3答案 B解析 对称轴x ＝1－a ≥4，∴a ≤－3.3．下列函数满足“对∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时恒有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 条件即f (x )在(0，＋∞)为减函数，只有1x 符合条件．4．(2013·石家庄一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x ≥0，－x ＋2，x <0，则满足不等式f (3－x 2)<f (2x )的x 的取值范围为( )A ．(－3，－3)B ．(－3,1)C ．[－3,0)D ．(－3,0)答案 D解析 作出f (x )图像如图．∵f (3－x 2)<f (2x )，∴⎩⎨⎧3－x 2>2x ，2x <0.解得－3<x <0.选D. 5．函数f (x )＝1－1x －1( )A ．在(－1，＋∞)上单调递增B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减 答案 B解析 f (x )可由－1x 沿x 轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得，如图．6．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋12)有最小值，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(0,1) B ．(0,1)∪(1，2) C ．(1，2) D ．[2，＋∞)答案 C解析 当a >1且x 2－ax ＋12有最小值时，f (x )才有最小值log a 2－a 24，∴⎩⎨⎧a >1，Δ<0⇒1<a < 2.7．若函数f (x )是R 上的增函数，对实数a 、b ，若a ＋b >0，则有 ( ) A ．f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )C ．f (a )－f (b )>f (－a )－f (－b )D ．f (a )－f (b )<f (－a )－f (－b ) 答案 A解析 ∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a . ∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )，∴选A.8．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是 ( )A ．(3，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)答案 A解析 由已知易得⎩⎨⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减． 9．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数答案 A解析 当x <0时，－x >0，－(2x ＋1x )＝(－2x )＋(－1x )≥2(－2x )·(－1x )＝22，即2x ＋1x ≤－22，2x ＋1x －1≤－22－1，即f (x )≤－22－1，当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，此时函数f (x )有最大值，选A.10．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (|1x |)<f (1)的实数x 的取值范围是 ( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由已知得|1x |>1⇒－1<x <0或0<x <1，故选C.11．(2012·安徽)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.答案 －6解析 f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x <－a 2，∵函数f (x )的增区间是[3，＋∞)， ∴－a2＝3，即a ＝－6.12．(2012·上海)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x －a，x ≥a ，e a －x ，x <a ，当x ≥a 时f (x )单调递增，当x <a 时，f (x )单调递减，又f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以a ≤1.13．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．答案 (0，110)解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110. 14．给出下列命题①y ＝1x 在定义域内为减函数； ②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数； ③y ＝－1x 在(－∞，0)上为增函数； ④y ＝kx 不是增函数就是减函数． 其中错误命题的个数有________． 答案 3解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．15．函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________． 答案 [1，＋∞)解析 函数图像如图.16．在给出的下列4个条件中，①⎩⎨⎧0<a <1，x ∈(－∞，0) ②⎩⎨⎧ 0<a <1，x ∈(0，＋∞) ③⎩⎨⎧ a >1，x ∈(－∞，0) ④⎩⎨⎧a >1，x ∈(0，＋∞)能使函数y ＝log a 1x 2为单调递减函数的是________． (把你认为正确的条件编号都填上)． 答案 ①④解析 利用复合函数的性质，①④正确．17．设函数f (x )＝2x ＋a ·2－x －1(a 为实数)．若a <0，用函数单调性定义证明：y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．解析 设任意实数x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x )是增函数． 18．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 答案 (1)略 (2)0<a ≤1解析 (1)证明 任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax 2＋1(x ≥0)，(a ＋2)e ax(x <0)为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．(0，＋∞)C ．[－2,0)D ．(－∞，－2)答案 A解析 若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎨⎧ a >0，a ＋2>0，a ＋2≤1，此不等式组无解；若f (x )在R 上单调递减，则有⎩⎨⎧a <0，a ＋2>0，a ＋2≥1，解得－1≤a <0.综上，实数a 的取值范围是[－1,0)．2．f (x )＝⎩⎨⎧ax －1，x ≤2，log a (x －1)＋3，x >2是定义域上的单调函数，则a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 由题意知a >0，且f (x )＝⎩⎨⎧ax －1，x ≤2，log a (x －1)＋3，x >2是定义域上的单调增函数，因此⎩⎨⎧a >1，2a －1≤log a (2－1)＋3.故1<a ≤2. 3．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则m ∈________. 答案 (－1,0]解析 ∵f ′(x )＝4(1－x 2)(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，得－1<x <1. ∴f (x )的增区间为(－1,1)． 又∵f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增， ∴⎩⎨⎧m ≥－1，2m ＋1≤1，∴－1≤m ≤0. ∵区间(m,2m ＋1)， ∴2m ＋1>m ，即m >－1. 综上，－1<m ≤0.4．函数f (x )＝x 2x －1(x ∈R 且x ≠1)的单调增区间是______．答案 (－∞，0)和(2，＋∞)解析 将原函数y ＝x 2x －1变形为y ＝(x －1)＋1x －1＋2，显然x －1在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)内取值时，函数单调递增，即得x 在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内取值时，函数单调递增．5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．答案 (－1，2－1) 解析画出f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图像，由图像可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎨⎧ 1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1, 2－1)． 6．判断函数f (x )＝axx 2－1(a ≠0)在区间(－1,1)上的单调性． 答案 a >0时，函数f (x )在(－1,1)上为减函数； a <0时，函数f (x )在(－1,1)上为增函数． 解析 方法一 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝a (x 1x 2＋1)(x 2－x 1)(x 21－1)(x 22－1). ∵(x 1x 2＋1)(x 2－x 1)(x 21－1)(x 22－1)>0，∴a >0时，函数f (x )在(－1,1)上为减函数； a <0时，函数f (x )在(－1,1)上为增函数． 方法二 对f (x )求导，有f ′(x )＝－a (x 2＋1)(x 2－1)2，∵x ∈(－1,1)，∴(x 2－1)2>0，x 2＋1>0.∴当a <0时，f ′(x )>0，f (x )在(－1,1)上为增函数， 当a >0时，f ′(x )<0，f (x )在(－1,1)上为减函数．7．函数f (x )对任意的a 、b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3. 答案 (1)略 (2){m |－1<m <43}解析 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0. ∴f(x2)>f(x1)．即f(x)是R上的增函数．(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.∴原不等式可化为f(3m2－m－2)<f(2)．∵f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－2<2，解得－1<m<4 3.故m的解集为{m|－1<m<4 3}．8．已知函数f(x)自变量取值区间A，若其值域区间也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．(1)求函数f(x)＝x2形如[n，＋∞)(n∈R)的保值区间；(2)g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，求m的取值范围．答案(1)[0，＋∞)或[1，＋∞)(2)－1解析(1)若n<0，则n＝f(0)＝0，矛盾．若n≥0，则n＝f(n)＝n2，解得n＝0或1.所以f(x)的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)．(2)因为g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，所以2＋m>0，即m>－2.令g′(x)＝1－1x＋m>0，得x>1－m.所以g(x)在(1－m，＋∞)上为增函数，同理可得g(x)在(－m,1－m)上为减函数．若2≤1－m即m≤－1时，则g(1－m)＝2得m＝－1满足题意．若m>－1时，则g(2)＝2，得m＝－1，矛盾．所以满足条件的m 值为－1. 9．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值． 解析 (1)证明：方法一 设x 2>x 1>0，则 x 2－x 1>0，x 1x 2>0.∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．方法二 ∵f (x )＝1a －1x ，∴f ′(x )＝(1a －1x )′＝1x 2>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增， ∴f (12)＝12，f (2)＝2，∴a ＝25.。