3 弹性静力学变分原理一 、弹性力学平衡问题的基本方程：回顾,0ij j i f σ+= 在域V 内(3.1),,()/2ij i j j i u u ε=+ (3.2) ij ijkl kl c σε= 或 ij ijkl kl s εσ= (3.3a ,b )式中ijkl ijlk jikl klij c c c c ===(3.4)边界条件：在域V 的边界B 上，12B B B =⋃，有i i u u =， 在1B 上(3.5) ij ij i p n p σ==， 在2B 上(3.6)补注1：有限变形应变公式不限于小变形的应变定义依据坐标的选取分两类，一类是以变形前坐标i X 来衡量，称为Lagrange 应变或者Green 应变，另一类则是以变形后坐标i x 来衡量，称为Euler 应变或者Almansi 应变，分别为12j i k k ij j i i j u uu u L X X X X ⎛⎫∂∂∂∂=++⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭12j i k k ij ji i j u u u u E x x x x ⎛⎫∂∂∂∂=+- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ (s-3.1)补注2：微极弹性理论经典的弹性力学中，从微六面体的平衡出发推导平衡方程时，六面体各面上仅有一合力作用，自然有三个分量。
但我们在研究宏观构件，比如弹性直梁时，其截面上除了一个合力外，尚有一个合力矩（即三个力矩分量）。
也就是说，在经典的弹性理论中，微元体面上的合力矩被忽略了。
如果考虑这一合力矩的影响，我们便得到所谓的Cosserat 理论，相应的介质称为Cosserat 介质。
事实上，第一个考虑合力矩影响的是德国学者W. V oigt ，他于1887年发表论文，发现这一考虑将导致应力张量的非对称性。
E. Cosserat 和F. Cosserat 兄弟俩于1909年完善了Voigt 的工作，特别是提出了物体在变形过程中其每一点不仅有平移变位，而且伴随着转动变位。
Cosserat 兄弟的工作发表后一直少有人问津，原因是他们的理论是直接建立在非线性构架上的，而且有很多讨论与弹性理论无关，所谓的曲高和寡正是他们的论文遭到冷遇的最好写照。
到1950年代左右，由于发现诸如高频振动时经典弹性理论的预测结果和实验结果有较大的差距，Cosserat 理论才被重视起来，发表了一系列的学术论文，例如C. Truesdell ，R. A. Toupin ，R. Mindlin ，A. C. Eringen 等力学大家都曾致力于Cosserat 介质的研究。
目前文献中，也称Cosserat 介质为微极（micropolar ）介质，称Cosserat 理论为偶应力（couple stress ）理论或者非对称（asymmetric ）弹性理论。
其运动平衡方程有两组，一组与Cauchy 线动量方程（Cauchy ’s equation of linear momentum ）相同，另一组与Cauchy 角动量方程（Cauchy ’s equation of angular momentum ，即ij ji σσ=）有区别，为,0ijk jk ji j i e Y σμ++=(s-3.2)1995年后至今仍为研究热点的梯度塑性（gradient plasticity ）理论，其出发点和Cosserat 理论是类似的，都是在分析中尽量考虑材料微结构的影响。
补注3：对称性与独立材料常数对于具有某种对称性质的弹性体，其独立弹性常数的个数可进一步减少。
(1) 具有一个弹性对称面的弹性体（三斜，triclinic ）1112131612222326132333364445455516263666000000000000000c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C (s-3.3)(2) 具有三个弹性对称面的弹性体（正交各向异性，orthotropic ）11121312222313233344556600000000000000000000c c c c c c c c c c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C (s-3.4)(3) 具有一个弹性对称轴的弹性体（横观各向同性，transversely isotropic ）11121312111313133344446600000000000000000000c c c c c c c c c c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C (s-3.5)其中1112662c c c =+。
(4) 中心对称的弹性体（各向同性，isotropic ）2000200020000000000000000λμλλλλμλλλλμμμμ+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C (s-3.6)其中λ和μ为Lamé常数，用工程常数表示为(1)(12)E νλνν=+-，2(1)Eμν=+(s-3.7)二 、变形可能位移和静力可能应力满足方程(3.2)和(3.5)的位移和应变，称为变形可能位移和变形可能应变，将变形可能应变代入(3.3a )计算所得的应力称为变形可能应力。
满足方程(3.1)和(3.6)的应力称为静力可能应力，将静力可能应力代入(3.3b )所得到的应变称为静力可能应变，如果相应此应变还有位移的话，就称为静力可能位移。
通常称方程(3.2)和(3.5)为连续条件，称方程(3.1)和(3.6)为平衡条件。
因此满足连续条件的位移称为变形可能位移，满足平衡条件的应力便是静力可能应力。
变形可能位移记成k i u ，静力可能应力记成sij σ。
三 、变形能线弹性体的比应变能（specific strain energy ）定义为 11()22ij ij x x y y z z yz yz zx zx xy xy U σεσεσεσετγτγτγ==+++++(3.7)其物理意义是微六面体的变形能。
物体总的变形能为1d d 2T ij ij VVU U V V σε==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (3.8)对于各向同性材料，有22222222(1)1111d d d 222T V E u v w u v w U x y z x y z w v u w v u x y z y z z x x y ννν⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎡⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢+-∂∂∂∂∂∂⎣⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫++++++⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎰⎰⎰(3.9)从式(3.7)可以得到ij ijUσε∂=∂ (3.10)及cij ijU εσ∂=∂ (3.11)此两者分别为卡氏（Castigliano ）第一和第二定理。
事实上对于一般的材料，我们可类似得到ij ijUσε∂=∂， (3.12)及cij ijU εσ∂=∂， (3.13)其中d ijij ij U εσε=⎰，0d ijc ij ij U σεσ=⎰(3.14)分别为比应变能和比应变余能，满足()()0ij c ij ij ij U U εσσε+-=(3.15)容易证明式(3.12)，(3.13)和式(3.15)三者是完全等价的（熊祝华和刘子廷，1988）。
对于线弹性材料，c U U =。
Born: 9 Nov 1847 in Asti, Piemonte, ItalyDied: 25 Oct 1884 in Milan, ItalyAlberto Castigliano moved from the region of his birth, Piedmont in northwestern Italy, to the Technical Institute of Terni in 1866. After four years in Terni, in Umbria, Castigliano moved north again, this time to become a student at the Polytechnic of Turin. After three years of study in Turin he wrote a dissertation in 1873 Intorno ai sistemi elastici for which he is famous.After graduating from the Polytechnic of Turin, Castigliano was employed by the Northern Italian Railways. He headed the office responsible for artwork, maintenance and service and worked there until his death at an early age.In his dissertation there appears a theorem which is now named after Castigliano. This is stated in [1] as:-... the partial derivative of the strain energy, considered as a function of the applied forces acting on a linearly elastic structure, with respect to one of these forces, is equal to the displacement in the direction of the force of its point of application.Castigliano's results contain the principle of least work as a special case and this was to lead to a dispute with Menabrea in which Castigliano came off less well than he had hoped.From: /Biographies/Castigliano.html补注4：高斯定理和格林公式高斯定理的一般形式为......d ()d jk jk i iVBT V T n B x ∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰(s-3.8)其中...jk T 为一任意阶的张量，i n 为边界外法线的分量。