第2讲动量守恒定律及“三类模型”问题一、动量守恒定律1.内容如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变。
2.表达式(1)p＝p′，系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′。
(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和。
(3)Δp1＝－Δp2，相互作用的两个物体动量的变化量等大反向。
(4)Δp＝0，系统总动量的增量为零。
3.适用条件(1)理想守恒：不受外力或所受外力的合力为零。
(2)近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力。
(3)某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统在这一方向上动量守恒。
【自测1】(多选)如图1所示，小车与木箱紧挨着静止放在光滑的水平冰面上，现有一男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱。
关于上述过程，下列说法中正确的是()图1A.男孩和木箱组成的系统动量守恒B.小车与木箱组成的系统动量守恒C.男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒D.木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量大小相同答案CD解析男孩和木箱组成的系统受小车的摩擦力，所以动量不守恒，A错误；小车与木箱组成的系统受男孩的力为外力，所以动量不守恒，B错误；男孩、小车与木箱三者组成的系统，所受合外力为0，所以动量守恒，C正确；木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量大小相同，但方向相反，D正确。
二、“三类”模型问题1.“子弹打木块”模型(1)“木块”放置在光滑的水平面上①运动性质：“子弹”对地在滑动摩擦力作用下做减速直线运动；“木块”在滑动摩擦力作用下做加速直线运动。
②处理方法：通常由于“子弹”和“木块”的相互作用时间极短，内力远大于外力，可认为“子弹”与“木块”组成的系统在这一过程中动量守恒。
把“子弹”和“木块”看成一个系统，系统水平方向动量守恒；机械能不守恒；对“木块”和“子弹”分别应用动能定理。
(2)“木块”固定在水平面上①运动性质：“子弹”对地在滑动摩擦力作用下做减速直线运动；“木块”静止不动。
②处理方法：对“子弹”应用动能定理或牛顿第二定律列方程求解。
2.“反冲”和“爆炸”模型(1)反冲①定义：当物体的一部分以一定的速度离开物体向前运动时，剩余部分必将向后运动，这种现象叫反冲运动。
②特点：系统内各物体间的相互作用的内力远大于系统受到的外力。
实例：发射炮弹、发射火箭等。
③规律：遵从动量守恒定律。
(2)爆炸问题爆炸与碰撞类似，物体间的相互作用时间很短，作用力很大，且远大于系统所受的外力，所以系统动量守恒。
如爆竹爆炸等。
3.“人船模型”问题(1)模型介绍两个原来静止的物体发生相互作用时，若整体所受外力的矢量和为零，则两物体组成的系统动量守恒。
在相互作用的过程中，任一时刻两物体的速度大小之比等于质量的反比。
这样的问题即为“人船模型”问题。
(2)模型特点①两物体相互作用过程满足动量守恒定律m 1v 1－m 2v 2＝0。
②运动特点：人动船动，人静船静，人快船快，人慢船慢，人左船右；人与船的位移比等于它们质量比的倒数；人与船的平均速度(瞬时速度)比等于它们质量比的倒数，即x 1x 2＝v 1v 2＝m 2m 1。
③应用x 1x 2＝v 1v 2＝m 2m 1时要注意：v 1、v 2和x 1、x 2一般都是相对地面而言的。
【自测2】 如图2所示，长为L 、质量为m 船的小船停在静水中，质量为m 人的人由静止开始从船的一端走到船的另一端，不计水的阻力。
则船和人相对地面的位移各为多少？图2答案 m 人m 人＋m 船L m 船m 人＋m 船L 解析 以人和船组成的系统为研究对象，在人由船的一端走到船的另一端的过程中，系统水平方向不受外力作用，所以整个系统水平方向动量守恒，可得m船v 船＝m 人v 人，因人和船组成的系统动量始终守恒，故有m 船x 船＝m 人x 人，由题图可看出，x 船＋x 人＝L ，可解得x 人＝m 船m 人＋m 船L ，x 船＝m 人m 人＋m 船L 。
命题点一动量守恒定律的理解和基本应用题型1动量守恒的理解【例1】如图3所示，A、B两物体的质量之比为m A∶m B＝1∶2，它们原来静止在平板车C上，A、B两物体间有一根被压缩了的水平轻质弹簧，A、B两物体与平板车上表面间的动摩擦因数相同，水平地面光滑。
当弹簧突然释放后，A、B 两物体被弹开(A、B两物体始终不滑出平板车)，则有()图3A.A、B系统动量守恒B.A、B、C及弹簧组成的系统机械能守恒C.小车C先向左运动后向右运动D.小车C一直向右运动直到静止答案 D解析A、B两物体和弹簧、小车C组成的系统所受合力为零，所以系统的动量守恒。
在弹簧释放的过程中，因m A∶m B＝1∶2，由滑动摩擦力公式F f＝μF N＝μmg 知，A、B两物体所受的摩擦力大小不等，所以A、B两物体组成的系统合力不为零，A、B两物体组成的系统动量不守恒，故A错误；A物体对小车向左的滑动摩擦力小于B物体对小车向右的滑动摩擦力，在A、B两物体相对小车停止运动之前，小车所受的合力向右，会向右运动，因滑动摩擦力做负功，则系统的机械能不守恒，最终整个系统将静止，故B、C错误，D正确。
【变式1】(2021·1月湖北学业水平选择性考试模拟演练，1)如图4所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q自P的上端静止释放。
Q与P的接触面光滑，Q在P上运动的过程中，下列说法正确的是()图4A.P对Q做功为零B.P和Q之间相互作用力做功之和为零C.P和Q构成的系统机械能守恒、动量守恒D.P和Q构成的系统机械能不守恒、动量守恒答案 B解析根据题意可知，物块Q从光滑曲面体P滑下，两者组成的系统没有重力以外的其他力做功，系统的机械能守恒，故D错误；物块Q滑下，曲面体向后运动，说明滑块Q对曲面体P做正功，则曲面体P对滑块Q做负功，且P和Q之间的相互作用力做功之和为零，故B正确，A错误；P和Q组成的系统所受外力不为零，动量不守恒，但在水平方向的外力为零，系统在水平方向的动量守恒，故C 错误。
题型2动量守恒定律的基本应用【例2】(2020·山东青岛市上学期期末)在靶场用如图5所示的简易装置测量某型号步枪子弹的出膛速度。
在平坦靶场的地面上竖直固定一根高h＝1.25 m的直杆，在杆的顶端放置质量m1＝0.2 kg 的实心橡皮球，测试人员水平端枪，尽量靠近并正对着橡皮球扣动扳机，子弹穿过球心，其他测试人员用皮尺测得橡皮球和子弹的着地点离杆下端的距离分别为x1＝20 m、x2＝100 m。
子弹质量m2＝0.01 kg，重力加速度g＝10 m/s2，求该型号步枪子弹的出膛速度大小。
图5答案 1 000 m/s解析设步枪子弹的出膛速度大小为v0，子弹穿过球后瞬间，橡皮球的速度为v1，子弹的速度为v2，有m2v0＝m1v1＋m2v2，h＝12，x1＝v1t，x2＝v2t，解得v0＝1 0002gtm/s。
【变式2】(2020·江苏扬州市5月调研)如图6所示，在足够长的光滑水平面上，用质量分别为2 kg和1 kg的甲、乙两滑块，将轻弹簧压紧后处于静止状态，轻弹簧仅与甲拴接，乙的右侧有一挡板P。
现将两滑块由静止释放，当弹簧恢复原长时，甲的速度大小为2 m/s，此时乙尚未与P相撞。
图6(1)求弹簧恢复原长时乙的速度大小；(2)若乙与挡板P碰撞反弹后不能再与弹簧发生碰撞。
求挡板P对乙的冲量的最大值。
答案(1)4 m/s(2)6 N·s解析(1)设向左为正方向，由动量守恒定律得m甲v甲－m乙v乙＝0，代入数据解得v乙＝4 m/s。
(2)要使乙反弹后不能再与弹簧发生碰撞，碰后最大速度为v甲，设向左为正方向，由动量定理得I＝m乙v甲－m乙(－v乙)，解得I＝6 N·s。
命题点二“子弹打木块”模型1.木块放在光滑水平面上，子弹水平打进木块，系统所受的合力为零，因此系统动量守恒。
2.两者发生的相对位移为子弹射入木块的深度x相。
3.根据能量守恒定律，系统损失的动能等于系统增加的内能。
4.系统产生的内能Q＝F f x相，即两物体由于相对运动而摩擦产生的内能，等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积。
5.当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统的动量仍守恒，系统损失的动能为ΔE k ＝F f L (L 为木块的长度)。
【例3】 (2020·北京市昌平区二模练习)冲击摆可以测量子弹的速度大小。
如图7所示，长度为l 的细绳悬挂质量为M 的沙箱，质量为m 的子弹沿水平方向射入沙箱并留在沙箱中。
测出沙箱偏离平衡位置的最大角度为α。
沙箱摆动过程中未发生转动。
图7(1)自子弹开始接触沙箱至二者共速的过程中，忽略沙箱的微小偏离。
求： ①子弹射入沙箱后的共同速度大小v ；②子弹射入沙箱前的速度大小v 0；(2)自子弹开始接触沙箱至二者共速的过程中，沙箱已经有微小偏离。
子弹入射沙箱的过程是否可以认为水平方向动量守恒？并简要说明理由。
答案 (1)①2gl （1－cos α） ②m ＋M m 2gl （1－cos α）(2) 守恒，理由见解析解析 (1)①在子弹与沙箱共速至沙箱偏离平衡位置的角度为α过程中，由机械能守恒定律得12(m ＋M )v 2＝(m ＋M )gl (1－cos α) 解得v ＝2gl （1－cos α）。
②对子弹与沙箱组成的系统，由水平方向动量守恒得m v 0＝(M ＋m )v解得v 0＝m ＋M m 2gl （1－cos α）。
(2)可以认为水平方向动量守恒。
自子弹开始接触沙箱至二者共速的过程中，由于沙箱偏离平衡位置的距离很小，受到细绳拉力在水平方向的分力远小于子弹与沙箱相互作用的内力，因此子弹入射沙箱的过程可以认为水平方向动量守恒。
【变式3】如图8所示，质量为M的木块位于光滑水平面上，在木块与墙之间用轻弹簧连接，开始时木块静止在A位置。
现有一质量为m的子弹以水平速度v0射向木块并嵌入其中，则当木块回到A位置时的速度v以及此过程中墙对弹簧的冲量I的大小分别为()图8A.v＝m v0M＋m，I＝0 B.v＝m v0M＋m，I＝2m v0C.v＝m v0M＋m，I＝m2v0M＋mD.v＝m v0M，I＝2m v0答案 B解析子弹射入木块过程，由于时间极短，子弹与木块间的内力远大于系统外力，以v0的方向为正方向，由动量守恒定律得m v0＝(M＋m)v，解得v＝m v0M＋m子弹和木块组成的系统在弹簧弹力的作用下先做减速运动，后反向做加速运动，回到A位置时速度大小为m v0M＋m。
子弹、木块和弹簧组成的系统受到的合力即为墙对弹簧的作用力，系统初动量为m v0，末动量为－(M＋m)v，根据动量定理得I＝－(M＋m)v－m v0＝－2m v0所以墙对弹簧的冲量I的大小为2m v0，选项B正确。