毕业设计（论文）题目：拉普拉斯变换的应用院（系）数学科学学院专业信息与计算科学届别学号姓名指导老师摘要拉普拉斯变换是重要的定理.本文首先叙述拉普拉斯变换的相关定理及其推广，然后通过了举例子的方法来列举了拉普拉斯变换在广义积分、微分方程求解中应用, 以及拉普拉斯变换的延迟性质的应用关键词：拉普拉斯变换; 拉普拉斯变换应用；拉普拉斯变换的推广.ABSTRACTThe theorem of Laplace transform is important.This paper described the related theorem and its extension of the Laplace transformation, then an example through the way of enumerating the Laplace transformation applied in the generalized integral, differential equation, and delay the nature of the application of Laplace transformKeywords:Laplace transform; Laplace transform application; A generalization of Laplace transform.目录第一章拉普拉斯变换的概念及存在定理 (4)引言 (4)1.拉普拉斯变换的定义 (4)2.拉普拉斯变换的存在定理 (4)3.拉普拉斯变换的基本性质 (6)第二章拉普拉斯变换的推广及其逆变换 (7)1.拉普拉斯变换的推广 (7)2.拉普拉斯逆变换 (7)第三章拉普拉斯变换的应用 (9)1.利用拉普拉斯变换解微分方程（组） (9)2.用拉普拉斯变换解积分方程 (12)第四章利用拉普拉斯变换求解广义积分 (13)1.主要方法及证明 (13)2.计算⎰∞0)(dtttf型积分 (15)3.计算⎰∞>)0(),(tdxxtf型积分 (16)第五章延迟性质在拉普拉斯变换中的应用 (18)结语 (20)参考文献 (21)后记 (22)第一章 拉普拉斯变换的概念及存在定理引 言复变函数论产生于18世纪，它是数论、代数、方程等理论研究中的重要方法之一，以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分.在数学中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算,常常采取一种变换手法,如数量乘积或商通过对数变换变成和或者差然后再作指数变换即得原来数量的乘积和商.所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数变成另一个函数的变换,一般是化为含参数的积分.积分变换理论和方法不仅在数学许多分支中,而且在其他自然科学和各种工程技术领域中有广泛应用,已经成为不可缺少的运算工具 ,本论文主要总结归纳了拉普拉斯的变换几个重要方面的应用.通过本论文，不仅能使你对拉普拉斯的变换有更加深入的了解，而且能掌握其运用，增强自身的实际运用能力，使得自己对于拉普拉斯的变换有了真正意义上的掌握，而不是仅仅是停留在课本上的认识.1.拉普拉斯变换的定义：设函数ƒ(t)在[0，∞]上有定义，如果对于复参变量jw s +=β,积分dt e t f s F st -+∞⎰=0)()(在复平面s 的某一个区域内收敛，则称)(s F 为函数)(t f 的拉普拉斯变换，记为)]([￡)(s f s F =;对应地，称函数)(s f 为)(s F 的拉普拉斯逆变换，记为)]([￡)(-1s F t f =.同时，)(s F 和)(s f 分别被称为像函数和原函数.2.拉普拉斯变换的存在定理：若函数)(t f ）满足下列条件：(1)在0≥t 的任一有限区间上连续或者分段连续；(2)当∞→t 时，)(t f 具有有限的增长性，即存在常数0>M 及0≥c ，使得 ct Me t f ≤)( )0(∞<≤x （1） 成立（其中c 称为)(t f 的增长指数，或者称)(t f 的增长是不超过指数级的）.则)(t f 的拉普拉斯变换F(s)在半平面c s >)Re(上一定存在，拉普拉斯积分在c c >≥1Re 上绝对收敛而且一致收敛，并且)(s F 在c s >)Re(的半平面内解析.证 设jw s +=β,则t st e e β--=，由不等式（1），可得dt e M dt e t f s F t c st ⎰⎰+∞--+∞-≤=0)(0)()(β 又由c s >=β)Re(，即0>-c β，可知上式右端积分收敛，因此)(s F 在半平面c s >)Re(上存在.注1 上述拉普拉斯变换存在定理证明表明，一个函数即使它的绝对值随着t 的增大而增大，但只要不比某个指数函数增长得快，则它的拉普拉斯变换就存在，这一点可以从拉普拉斯的变换与傅里叶变换的关系中得到一种直观的解释.大多数物理和工程技术中常见的函数都满足存在定理的条件，因而拉普拉斯变换的应用范围较傅里叶更广泛.注2 存在定理中的条件是充分而非必要条件.例如，对于函数m t t f =)(来说，当1->m 时，拉普拉斯变换是存在的；但当21=m 时，t t f 1)(=却不满足存在定理中的条件(1)，因为这时)(t f 在0=t 时为无穷大，不满足在0≥t 的任一有限区间上连续或者分段连续的要求.同理，单位脉冲函数)(t δ也不满足定理中的条件，但)(t δ的拉普拉斯变换是存在的.注3 当满足拉普拉斯变换存在定理条件的函数)(t f 在0=t 处有界时，积分dt e t f t f st ⎰+∞-=0)()]([ψ中的下限取+0或者-0不会影响其结果。

但当)(t f 在0=t 处包含了脉冲函数时，则拉普拉斯变换的积分下限必须明确指明是+0还是-0.3.拉普拉斯变换的基本性质(1)线性性质设βα,为常数，)(1t f ，)(2t f 是任意两个函数，且)()]([￡11s F t f =，))(]()[(￡22s F t f =则有)()()]()([￡2121s F s F t f t f βαβα+=+.(2)位移性质若)()]([￡s F t f =，0s 为常数，则)()]([￡00s s F t f e t s -= （c s s >-0Re(），或者)()]([￡001t f e s s F t s =--.(3)微分性质若)()]([￡s F t f =，则)0()()]([￡'f s sF t f -=.(4)积分性质若)()]([￡s F t f =，则有)(])([￡10s F dt t f s t=⎰.更一般地，有)(]￡[100t 0s F dt dt dt n s n t t =⎰⎰⎰ 次.第二章 拉普拉斯变换的推广及其逆变换1.拉普拉斯变换的推广拉普拉斯变换的定义式为：⎰+∞-==0)()]([￡)(dx e x f x f x F sx (2)其中：(1)s 是一个复参数，令iw s +=β；(2)当+∞→s 时，)(x f 的增长率不超过某一指数函数，存在实数0>M 及0≥c ，使得cx Me x f ≤)( )0(+∞<≤x 成立.因为原函数)(x f 在区间],0[+∞内有定义是一种特殊情况，而在],[0+∞x 内有定义才是一般情况(0x 可以小于零，等于零，大于零)，所以将(1)式修改为dx e x f x f s F x x x s ⎰+∞--==00)()()]([￡)( (3)其中：(1)0x 为任意实常数，即+∞<0x ；(2)+∞<≤x x 0；(3)其他条件与式(2)相同或类似.下面式子(4)称为拉普拉斯变换的推广,下列是对其证明：证明 若对函数)(x g 先乘以)0()()(00>---ββx x e x x H ，并设)(00)()(x x e x x H x g ---β满足傅里叶积分定理中的条件，然后取傅里叶变换，则有dx e x f e dx e e x x H w G x x iw x iwx iwx x x ))(()(00000)()()(-+-+∞∞-+∞----⎰⎰=-=βββ（4） 其中：(1))(0x x H -为海维赛函数；(2))()()(0x x H x g x f -=.若令iw s +=β，][)(0)(i s x s G e s F βββ--=，则得⎰+∞∞---=dx e x f s F x x s )(0)()( (5) 2.拉普拉斯逆变换定理 设)(s F 在半平面β≤s Re 内除有限个孤立奇点n s s s ,2,1外是解析的，且当∞→s 时，0)(→s F ，则有⎰∑∞+∞-==j j k st n k st s e s F s ds e s F j ββπ],)([Re )(211, 即 ∑==n k k st s es F s t f 1],)([Re )( 虚轴 jR +βR Cβ 实轴jR -β图8-1证 作如图8-1所示的闭曲线R C L C +=,R C 在β<s Re 的区域内是半径为R 的圆弧. 当R 充分大后，可使)(s F 的所有奇点包含在闭曲线C 围成的区域内。

同时，st e 在全面解析，所以st e s F )(的奇点就是)(s F 的奇点.根据留数定理可得⎰∑==c nk k st st s e s F s j ds e s F 1],)([Re 2)(π即⎰⎰∑+-==+jR jR C n k k st st st R s e s F s ds e s F ds e s F j ββπ1],)([Re ])()([21 在上式左方，取+∞→R 时的极限，并根据约当引理，当0>t 时有⎰=+∞→R C st k ds e s F 0)(lim从而∑⎰=+-=nk k st jR jR stj S e s F s ds e s F 121],)([Re )([ββπ当)(s F 为有理函数时，可以结合留数定理的有关方法计算.例1 求)2)(1(15)(-+-=s s s s F 的拉氏逆变换. 解22222222)1(2212)1(12)1(52)(++-+++=++=++=s s s s s s s s s F得)2sin 2(cos )(21t t e t f t -=-.第三章 拉普拉斯变换的应用1.利用拉普拉斯变换解微分方程（组）例2 求方程t e y y y -=-+32'''满足初值条件00==t y ，10'==t y 的解.解 设方程组的解)(t y y =，0≥t ，且设)()]([￡s Y t y =，对方程的两边取Laplace 变换，并考虑到初值条件，则得11)(3)(21)(2+=-=-s s Y s sY s Y s .这是含未知量)(s Y 的代数方程，整理后解出)(s Y ，得)3)(1)(1(2)(+-++=s s s s s Y ，这便是所求的Laplace 变换，取它的逆变换便可以得出所求函数)(t y . 为了求)(s Y 的逆变换，将他化为部分分式的形式，即381183141)3)(1)(1(2)(+-+-++-=+-++=s s s s s s s s Y ，取其逆变换，最后得t t t e e e t y 3818341)(--++-= )23(813t t t e e e ----= 这便是所求微分方程满足索哥初值条件的解. 本例是一个常系数非齐次线性微分方程满足初值条件的求解问题,下面将给出一个常系数线性微分方程的边值问题的例子.例3 求方程02'''=+-y y y 满足边界条件 4)(,0)0(==l y y 的解，其中l 为已知常数. 解 设方程的解)(x y y =，l x ≤≤0且设)()]([￡s Y x y =（注意自变量t 通常表示时间，如不会混淆，这里也可以记)(t y y =）。