xx x f 1)(+=1)(2+=x x x f xx f 1)(=函数的奇偶性一、函数奇偶性的根本概念1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。

2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。

注意：〔1〕判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，假设函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。

〔2〕在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及)()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。

题型一 判断以下函数的奇偶性。

⑴x x x f +=2)(，〔2〕x x x f -=3)( 〔3〕()()()R x x f x f x G ∈--=,(4)(5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断〔1〕判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。

〔2〕常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=，〔3〕常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= 〔4〕假设()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。

当()x g ≠0时，)()(x g x f 为偶函数。

〔5〕假设()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ⋅是偶函数，当()x g ≠0时，)()(x g x f 是偶函数。

〔6〕常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。

〔7〕在公共定义域偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.〔8〕对于复合函数()()[]x g f x F =；假设()x g 为偶函数,()f x 为奇〔偶〕函数，那么()x F 都为偶函数；假设()x g 为奇函数，()x f 为奇函数,那么()x F 为奇函数;假设()x g 为奇函数，()x f 为偶函数,那么()x F 为偶函数.题型二 三次函数奇偶性的判断函数d cx bx ax x f +++=23)(，证明：〔1〕当0==c a 时，)(x f 是偶函数〔2〕当0==d b 时，)(x f 是奇函数提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如c bx ax x f ++=2)(，当0=b ，)(x f 是偶函数；当0==c a ，)(x f 是奇函数。

题型三 利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1函数()23f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[]1 2a a -，，那么a b +=31． 2设2()2f x ax bx =++是定义在[]1,2a +上的偶函数，那么()f x 的值域是[]10,2-． 3 ))(1(sin )(a x x x x f +-=是奇函数，那么a 的值为 1 4)ln(sin )(2a x x x x f ++=是偶函数，那么a 的值为 1提示：〔1〕上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(x f x f x f x f -=-=-。

（2）因为是填空题，所以还可以用)1()1(),1()1(f f f f =--=-。

（3）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。

题型四 利用函数奇偶性的对称1以下函数中为偶函数的是〔 B 〕A ．2sin y x x =x y =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2x y -=2以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是AA ．x e x y +=B ．x x y 1+=C ．x x y 212+=D ．21x y += 3以下函数中，为偶函数的是〔 C 〕 A ．1y x =+ B ．1y x =C ．4y x =D ．y x = 4函数1()f x x x=-的图像关于〔 C 〕 A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称 5函数)1(+x f 是R 上的奇函数，且4)1(=-f ，那么)3(f =-46函数)2(+x f 是R 上的偶函数，那么3)3(-=-f ，那么)7(f =-3提示：〔1〕上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(x f x f x f x f -=-=-。

(2)奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。

(3)在原点有定义的奇函数必有0)0(=f 。

（4）函数)(t x f +是R 上的奇函数，那么)(x f 关于点)0,(t 对称。

(5))(t x f +是偶函数，那么)(x f 关于直线t x =对称。

题型五 奇偶函数中的分段问题1设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++〔b 为常数〕，那么(1)f -=-32()f x 是奇函数，且当0x >时，()2f x x x =-，求0x <时，()f x 的表达式。

2)(+=x x x f3函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，232)(x x x f -=，那么)3(-f =-454()f x 是偶函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，求)4(-f 245设偶函数()f x 满足)0(42)(≥-=x x f x ，那么(){}20x f x ->={|04}x x x <>或 提示：〔1〕奇函数)(x f ，当0≥x ，)()(x g x f =，那么当0<x 时，)()(x g x f --=。

〔2〕偶函数)(x f ，当0≥x ，)()(x g x f =，那么当0<x 时，)()(x g x f -=。

类型六 奇函数的特殊和性质1函数2)(3+=ax x f ，求)2()2(f f +-的和为42753()6f x x bx cx dx =-+++，且(3)12f -=，那么(3)f =038)(35-++=bx ax x x f ，10)2(=-f ，)2(f =_-26__4函数()f x ＝2211x x x +++，假设32)(=a f ，那么=-)(a f ( 43 ) 提示：)(x f 满足，t x g x f +=)()(，其中)(x g 是奇函数，那么有t a f a f 2)()(=-+。

题型七 函数奇偶性的结合性质1设()f x 、()g x 是R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，那么结论正确的选项是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数2设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，那么以下结论恒成立的是A ．)()(x g x f +是偶函B ．)()(x g x f -是奇函数C ．)()(x g x f +|是偶函数D ．)()(x g x f -|是奇函数3设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且1()()1f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式, 21()1f x x =-，2()1x g x x =-。

提示：〔1〕)(x f 是奇函数，那么)(x f 是偶函数。

〔2〕)(x h 是R 上的函数，且)(x f 也是R 上的偶函数和()g x 也是R 上的奇函数，满足)()()(x g x f x h +=，那么有2)()()(x h x h x g +-=，2)()()(x h x h x f --=。

题型八 函数的奇偶性与单调性1以下函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是〔 〕A ．1y x= B ．x y e -= C ．21y x =-+ D ．lg y x = 2以下函数中，既是偶函数，又在区间〔1,2〕是增函数的为〔A 〕cos 2y x =，x ∈R 〔B 〕x y 2log =，x ∈R 且x ≠0〔C 〕2x xe e y --=，x ∈R 〔D 〕31y x =+，x ∈R 3设()sinf x x x =-，那么()f x =〔 B 〕A 既是奇函数又是减函数B 既是奇函数又是增函数C 有零点的减函数D 没有零点的奇函数4设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，那么不等式()()0f x f x x--<的解集为〔 (10)(01)-，， 〕 5偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，假设()10f x ->，那么x 的取值围是)3,1(-. 6偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，那么满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值围是)32,31(提示：〔1〕)(x f 是奇函数，且在)0,(-∞上是增〔减〕函数，那么在),0(+∞上也是增〔减〕函数。

（2）)(x f 是偶函数，且在)0,(-∞上是增〔减〕函数，那么在),0(+∞上也是减〔增〕函数。

（3）)(x f 是偶函数，必有)()()(x f x f x f ==-。

题型九 函数的奇偶性的综合问题1函数()f x ,当,x y R ∈时，恒)()()(y f x f y x f +=+，且()0,0x f x ><时，又()112f =-〔1〕求证：()f x 是奇函数；〔2〕求证：)(x f 在R 上是减函数；〔3〕求)(x f 在区间[]2,6-上的最值。

最大值1，最小值-3。

2设()上递增，上是偶函数，在区间在0R )(∞-x f ，且有()()3221222+-<++a a f a a f ，求a 的取值围。