2 0
fi
末态动能
初态动能
A
功是质点动能变化的量度
过程量 状态量 动能是相对量
例 2 如图，一长度为 l，密度为 的细棒从下端紧贴
水面的位置，以零初速落入密度为 0 ( 0 < ) ，深度
为 h(h > l) 的水池中。求细棒下端接触到水池底时的
速度。
f
l
x
h
mg
动力学22
解：
F
mg
f
gsl gsl
0 gsx 0 gsl
(0 x l) (l x h)
h
l
h
A
Fdx
0
0 (gsl 0 gsx)dx
l
(gsl 0 gsl)dx
(
0
) gslh
1 2
0
gsl
2
(
0 )gslh
1 2
0 gsl 2
1 2
mv 2
0
1 2
gslv 2
v 2gh(1 0 / ) gl 0 /
1
1
GMm (GMm )
dr
r F m
ra
rb M
可见万有引力是保守力。
ra
a
4、弹力的功
F kx
A
xb
xa
kxdx
(
1 2
kxb 2
1 2
kxa 2
)
1 2
kxa 2
1 2
kxb 2
初态量 末态量
弹簧振子
可见，弹性力是保守力。
•• •
5、摩擦力的功
摩擦力 F
摩擦力方向与质点速度方向相反
变系统的总动能
dA内
f 2 1
dr1
f12 dr2
f12 (dr2
dr1)
f12
dr21
0
A内 f12 dr21 0
m1
f 21
f12
m2
r1
r2
O
3-2、保守力与势能
1、保守力
A F dr 0
某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关， 而与路径无关。这种力称为保守力。
A
dA
r2
F
dr
r1
r
i
F
B
i
功——力的空间积累
A
外力作功是外界对系统作用的一个过程量
直角坐标系中
F Fxi
Fy
j
Fz k
dr dxi dyj dzk
A ab Fxdx Fydy Fzdz
x
x0
Fxdx
y
y0
Fyd
y
z
z0
Fz d z
例1 作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j(N ) 在下列情况下求质点从 x1 2(m)处运动到 x2 3(m) 处该力作的功： 1. 质点的运动轨道为抛物线 x2 4 y
•单位：焦耳(J) 1J=1N·m
•变力的功
Z
分成许多微小的位移元，在每
一个位移元内，力所作的功为
b
dr
F
dA F dr F cosds
a
总功
O
Y
A ＝
dA
F
dr
F
cos
ds
X
•合力的功
A＝
F
dr＝
(
Fi
)
dr
(
Fi
dr
)
Ai
合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。
v
摩擦力F 做功
b
A
Fdr b
F
vdt
aL
aL
a
b
b
F vdt
Sb
mg ds mg s
a(L)
Sa L
结论: 摩擦力的功与质点路径有关
例3、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面， 忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功 是多少？
3-1 功与动能定理
一、功
•恒力的功
力对质点所作的功等于该力在位移
方向上的分量 与位移大小的乘积
A＝F S FS cos
F
F
m
m
S
说明
•功是标量，没有方向，只有大小，但有正负 <p/2，功W为正值，力对物体作正功； p /2，功W=0， 力对物体不作功； >p /2，功W为负值，力对物体作负功，或 物体克服该力作功。
dx
19
4
4dy
10.8J
A2
x2 , y2
x1 , y1
(Fxdx
Fydy)
2x2
x1
ydx
y2
y1
4dy
32
1 2
(
x
6)dx
19
4
4dy
21.25J
O 3X
做 功 与 路 径 有 关
二、功率
功率 力在单位时间内所作的功
平均功率：p A t
瞬时功率：p
dA F dr
lim t 0
dr2
1 2
m 2v
2 B2
1 2
m 2v
2 A2
2 A1 始点
B1
A1
F1
d
r1
B2 F2 d r2
A2
B1 A1
f
12
d
r1
B2 A2
f
21
d
r2
A2
2
1 2
mv
2 B1
1 2
m 2v
2 B2
(1 2
m1v
2 A1
1 2
m 2v
2 A2
)
W 外 W内 E kB E kA
➢ 内力所做的总功一般不为零，即内力一般要改
Z a•
dr
• •b
mg
O
Y
X
3、引力的功
两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以
M所在处为原点,M指向m的方向为矢径的正方向。
m受的引力方向与矢径方向相反。
b b GMm
A
a
F
dr
a
r3
r .dr
r dr r dr cos rdr
b
rb dr
A
rb GMm
ra
1 r2
dr
Ek
i
Eki
i
1 2
mi
vi2
i 1,2,, n
质点的动能定理
物体受外力作用 运动状态变化 动能变化
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
r
r
r
dv
A
F dr
r0
r0
F
ds
r0
m
dt
ds
ri
B
r
ds
r0
m
dt
dv
v
mvdv
v0
1 2
mv 2
1 2
mv
典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力 与保守力相对应的是耗散力 典型的耗散力： 摩擦力
2、重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
AG
ab
mg
dr
b
a ( mg )k ( dxi dyj dzk )
zb
za
mgdz
mgza mgzb
初态量 末态量
可见，重力是保守力。
质点系的动能定理
讨论两个质点组成的质点系的动能变化及做功的关系
F 设两质点质量分别为：m1 m2
F B1 F1 d r1
A1
B1 A1
f 12
dr 1
1 2
m1v
2 B1
1 2
m1v
2 A1
1
B1
d r1
末点 B2
f 12 f 21
2
r d r 1
r B2
A2
F2
dr2
B2 A2
f
21
A t
dA
dtdr
P F
dt
F
v
瞬时功率等于力与物体速度的标积 单位：瓦特 W
几个功率的数量级： 睡觉 70－80W(基础代谢) 走路 170－380W 跑步 700－1000W
闲谈 70－80W 听课 70－140W 足球 630－840W
三、质点的动能定理
质点的动能
Ek
1 2
mv 2
质点系统的动能
2. 质点的运动轨道为直线 4 y x 6
Y x2 4y
2.25
4y x6
1
2 O 3 X
A
AB F
•
dr
ab Fxdx Fydy Fzdz
4y x6
Y x2 4y
2.25 1
A1
x2 , y2
x1 , y1
(Fxdx
Fydy)
2x2
x1
ห้องสมุดไป่ตู้
ydx
y2
y1
4dy
2
32
x2 2