x
x
arctan y .
x
例3 求 Arg(2 2i) 和 Arg(3 4i) 解
Arg(2 2i) arg(2 2i) 2k
arctan 2 2k
2
2k (k 0, 1, 2,)
4
Arg(3 4i) arg(3 4i) 2k arctan 4 2k
记作 N 0 (z0 , )
z0
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集.
闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D
为闭集.
连通集 设是D 开集，如果对于D 内任意两
点，都可用折线连接起来，且该折线上的
点都属于D ，则称开集D 是连通集.
D
z1
z2
p
区域
区域（或开区域） 连通的开集称为区域 或开区域.
i
x1 y2 x2 y1 x22 y22

r1 r2
c os (1
2)

i sin(1
2 )

r1 r2
exp[i(1
2 )]
两个复数相除等于 它们的模相除，幅 角相减
复数四则运算规律：
（1）加法交换律 z1 z2 z2 z1 （2）乘法交换律 z1 z2 z2 z1 （3）加法结合律 z1 (z2 z3 ) (z1 z2 ) z3 （4）乘法结合律 z1 (z2 z3 ) (z1 z2 )z3 （5）乘法对于加法的分配律
z1 z2
(z2 0)
（5） zz [Re z]2 [Im z]2
（6） Re z z z , Im z z z
2
2i
（7） z z z 为实数.
例. 1
(2 3i)2
化简
2i

解
(2 3i)2 4 9 12i

2i
2i
(5 12i)(2 i) (2 i)(2 i)
6
6
可求出6个根，它们是
(k 0, 1, 2, 3, 4, 5)
z0
3 1 i, 22
z1 i,
z2
3 1i 22
z3
3 1 i, 22
z 4 i,
z5
3 1i 22
例2 计算 1 i
解
因为
1i
2
cos(
3 4

)

i
sin(
z z0 R
连接z1 和z2两点的线段的参数方程为
z z1 t(z2 z1),
(0 t 1)
过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z z1 t(z2 z1),
( t )
例2：考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。
（1） z 2i z 2
第一章 复数与复变函数
复数 复数表示及运算 平面点集 复变函数极限和连续性
复数、复数表示及运算
复数的概念
复数
形如z=x+iy的数被称为复数，其
中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别为
z的实部和虚部，i为虚数单位， 其意义为i2=-1
复数相等
复数不能 比较大小
z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1
arctan
y x
,
z在第一、四象限
arg
z




arctan
y x
,
z在第二象限
其中 arctan y
2
x2


arctan
y x
,
z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0
2
2
tan( ) tan( ) tan y arctan y
3
(2k 1) arctan 4 (k 0, 1, 2,)
3
复数的表示
代数表示： z=x+iy
三角表示：z r(cos i sin ) rei
指数表示：z rei (r z , Arg z)
注意 在三角表示和指数表示下，两个复数
相等当且仅当模相等且幅角相差 2k
z2

3
i4, 求
z1 z2
和 z1 z2
2.求(1 i)100 和4 1 i
平面点集
邻域 平面上以 z0 为心， 0 为半径的圆：z z0
内部所有点 z 的集合称为点的 —邻域，记
为 N (z0 , ) ，即
N(z0 , ) {z z z0 }
称集合{z 0 z z0 } 为 z 0 的去心 —邻域，
解出 n r , 1 ( 2k )
即
w
z
1 n
[c
os(1
(arg
n
z
2k
))

i
sin(
1
(arg
z

2k
))]
n
n
例 解方程 z6 1 0 解 因为 z6 1 cos i sin
所以
6 1 cos 2k i sin 2k

6
)

i
sin(

6
)

z2
3

i

2 cos(56
)
i sin(5
6
)

所以
z18

28
c
os
(
8
6
)

i
s
in(
8
6
)
z
4 2
2
4
c
os
(20
6
)

i
sin(
20
6
)

24
cos(
28
6
)

i
sin(
28
6
)
11 2i (2 i)(5i) 11 2i 5 10i
25
5i(5i)
25
25
16 8 i 25 25
所以 Re z 16 , Im z 8
25
25
zz (16 8 i)(16 8 i) 64 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂
3 4

)
所以
1 i

4


2 cos

3 2k
4 2
i sin

3 2k
4 2



(k 0, 1)
即
w20

4
2 (c os 3
8
i sin 3
8
)
w12

4
2 (c os 5
8
i
5
8
)
练习
1.设z1

5 i5,


arctan

2 12



arctan
3 3
2) 显z 然 ,4r=c|ozs|(=156, 又 ) i sin(

5 6



)


5 . 因此
6
5 i
4e 6
sin
5

cos


2

5


cos 3 ,
10
cos
该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程 表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线， 它的方程为y = －x。
（2） Im(i z) 4
设 z = x+ iy,
Im(i z) Im( x i(1 y)) 4
y 3
（3）
arg(
z

i)


4
arg( z i) 表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角
复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有 着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中 平面问题的有力工具。
复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的 推广和发展 。
自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象. 由 于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基 础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函 数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法奠定 必要的基础.
zi 4
中点z的轨迹所在范围。
解：
z z
i i

x2 y2 1 x2 ( y 1)2
i
x2
2x ( y 1)2
10 12 29i 2 29i
4 1
5
例2 设 z 1 2i ( 2 i ) ，求 Re z, Imz 及 zz
解
3 4i 5i
z 1 2i 2 i (1 2i)(3 4i) 2 i 3 4i 5i (3 4i)(3 4i) 5i
5

sin


2


5

因此

sin z
3 10 cos

3
.

i sin
3

i 3
e 10