0 Q
P−K P−K 对 Ｑ 求导数，得到 ∫ ϕ (r )dr = ，记 F ( Q) = ∫ϕ ( r ) dr = P −W P −W 0 0
又因为
Q
Q
d 2C (Q ) = −( P − W )ϕ (Q) < 0 ，因此上式求得的 Ｑ 为 Ｃ（Ｑ）的极大值点，即为总利 dQ2
润期望值最大的最佳经济订货批量。 若用
报童应准备的报纸最佳数量 Ｑ 应按下列不等式确定 Q-1 Q k P( r ) < ≤ P( r ) (9 − 25) k + h r=0 r=0 Ｋ——实际损失，ｈ——机会损失 例 １：某店拟出售甲商品，每单位甲商品成本 ５０ 元，售价 ７０ 元。如不能售出必须减价 为 ４０ 元，减价后一定可以售出。已知售货量 ｒ 的概率服从泊松分布。 e− k λτ P ( r) = τ! 根据以往经验，平均售出数为 ６ 单位（λ＝６）。问该店订购量应为若干单位？ 解： 该店的缺货损失， 每单位商品为 ７０－５０＝２０。 滞销损失， 每单位商品 ５０－４０＝１０， ｋ＝２０， ｈ＝１０ k Q 20 e−6 6τ = ≈ 0.667, P (τ ) = , F( Q) = P(τ ) k + h 20 + 10 τ! τ =0 −6 τ −6 τ 6 7 e 6 e 6 F( 6) = = 0.6063, F( 7) = = 0.7440 τ =0 τ ! τ =0 τ! k 因为 F(6) < < F( 7 ) 所以定 ７ 单位时损失最小。 k+h 例 ２：某商店计划订购一批夏季时装，进价是 ５００ 元，预计售价为 １０００ 元。夏季未售完 的要在季末进行削价处理， 处理价为 ２００ 元。 根据以往的经验， 该时装的销量服从［５０，１００］ 上的均匀分布，求最佳订货量。 解：根据题意可得：
F ( Q) = Pr( x ≤ Q ) =
∫
1 Q − 50 dx = = 0.625 50 50 50
Q
得到 Q = 81 .25 ，即订购 ８１ 件最为合算。
1 d −c 注：均匀分布 P{c < X < d }＝ f ( x )dx ＝ ∫c ∫c b − a dx ＝ b − a ２）需求是连续的随机变量（单周期） 设某一个时期需求的货物，需求量 ｒ 是连续随机变量，概率密度函数 ϕ ( r ) 已知，货物 单位成本为 Ｋ，货物单位售价 Ｐ（Ｐ＞Ｋ），如果当期未能销售，下期要降价处理，设处理 价为 Ｗ（Ｗ＜Ｋ），求最佳订货批量。 解： 和报童问题类似 当供大于求 r ≤ Q ，盈利的期望值：
５）价格有折扣的模型
K1, 0 ≤ Q ≤ Q1 1 R K ( Q ) = K j , Q j−1 ≤ Q ≤ Q j ， C (Q) = C1Q + C3 + KQ 2 Q K m , Qm −1 ≤ Q ≤ Q
算出 ＥＯＱ，比较大小 ２．随机存储模型 所谓需求是随机变量的单一周期存储问题是指，某种商品的市场需求是随机变量，其分 布为已知。这类商品或更新快或不能长期保存，他们在某段时间内只能进货一次，期末 未售出商品降价处理或完全损失掉（如季节性服装、贺年卡、食品、报纸等）。 这类问题中，如订货量过大会使商品不能完全售出而增加损失，若订货量过小，会因供 不应求而造成机会损失。 １）需求是离散的随机变量（单周期） 报童每日售报数量是一个随机变量。报童每售出一份报纸赚 ｋ 元。如报纸未能售出，每 份赔 ｈ 元。 每日售出报纸份数 ｒ 的概率 Ｐ（ｒ）根据以往的经验是已知的， 问报童每日最好 准备多少份报纸？ 解：
（二）满足服务水平的再订货点 r −µ x−µ P ≤ = 1− α – 由概率论的知识可知： σ σ – 即不会缺货的概率为： １－α。 – 查概率表 x− µ Φ = 1−α – σ x−µ – 可得到 = β 1−α – σ x = µ + σβ1−α – 这样有 – ｘ 即为满足服务水平的再订货点。 例：Ｃ１＝９．６ 元／箱年；Ｃ３＝２５０ 元／次；提前期：一星期；产品一星期的需求量服从均值 为μ＝８５０ 箱、均方差为σ＝１２０ 箱的正态分布。服务水平：缺货的概率小于 ０．０５。 Ｒ＝８５０×５２＝４４２００ 箱／年 2c3 R 2 × 250 × 44200 （１）最优订货量： （箱） Q* = = = 1517 c1 9.6 x −µ （２）再订货点 Φ =1−α = 1−0.05= 0.95 σ 查正态分布表有： Φ 1 . 645 = 0. 95 x −µ 故 = 1.645 σ 即 （箱） x = 850 + 120 ×1.645 = 1047 故商品的再订货点为 １０４７ 箱，每次订货量为 １５１７ 箱。 ２－３－２ 定期检查存储量模型 – 该模型的存储策略是：管理者定期检查产品的存储量，根据现有的库存量来确 定订货量。在该模型中管理者所要作出的决策是：依据规定的服务水平制定出 产品的存储补充水平 Ｍ。然后根据下式确定本次订货量，即 Ｑ＝Ｍ－Ｈ – 其中，Ｈ 为本次检查中的库存量。 – 以一个例子来说明存储补充水平的确定。
∑
∑
∑
∑
∑
h = 500 − 200 = 300 ， k = 1000 − 500 = 500
则最优订货批量 Q 应满足
∗
F (Q ) = ∫ f ( x )dx =
0
Q
k 500 = = 0.625 h + k 500 + 300
又因为服装的销量服从［５０，１００］上的均匀分布，所以有：
３）允许缺货，生产时间很短，已知 C1 ， C2 ， C3 ， R ，求 t 0 ， Q0 ， C0 ， S0
t 0 = t 0 ⋅ Y2 ， Q0 = Q0 ⋅ Y2 C S C C0 = 0 ， S0 = 0 ， B0 = Q0 − S0 = S0 1 （ t 0 时间内最大的缺货量） Y2 Y2 C2 ４）允许缺货，生产需要一定时间，已知 C1 ， C2 ， C3 ， R ， P 求 t 0 ， Q0 ， C0 ， S0 t 0 = t0 ⋅ Y1Y2 ， Q0 = Q0 ⋅ YY 1 2 C S C C0 = 0 ， S0 = 0 ， B0 = Q0 − S0 = S0 1 YY Y1Y2 C2 1 2
∑ (r − Q) p( r) ∑ (r − Q) p( r )
∞
∞
因此每天准备 Ｑ 份报纸时，报童的损失期望值为
C (Q) = h∑ (Q − r ) p( r ) +k
r =0
r = Q +1
为了使订购量为 Ｑ 时盈利的期望值最大，应满足下列关系：
C (Q + 1) ≤ C (Q) C (Q − 1) ≤ C (Q)
C1 存储费， C2 缺货费， C3 订购费，Ｋ 单价，Ｉ 库存量， Q 订购量
C2 − K C2 + C1
则 F ( Q) =
例：有位报童每月销售杂志，根据以往经验，杂志销售量服从 µ = 150, σ = 25 的正态分 布。假设杂志进价每份 ８ 元，售价每份 １５ 元，如果当月销售不完，下月只能以每份 ５ 元退回原单位，如果缺货，不会有什么损失，问报童每月进多少货才能使获得的期望值 最大？ 解：根据题意，得 Ｋ＝８，Ｐ＝１５，Ｗ＝５，销售量 r ~ N (150,252 )
(
)
例：某商品，每 １４ 天检查一次库存量。经统计，该商品的每 １４ 天需求量服从为μ＝５５０ 箱、 均方差为σ＝８５ 箱的正态分布。 现分别就商品缺货的概率小于 ０．０５ 和 ０．０２５ 两种情 况确定商品的存储补充水平。 解：设商品的存储补充水平为 Ｍ，依题意有
M −µ Φ 1 =1 −α1 =1 −0.05 = 0.95 σ M1 − µ = 1 .645 σ
M1 = 550 + 85 ×1.645 = 690 M −µ Φ 2 =1−α2 =1−0.025= 0.975 σ
M
2
− µ
即，两种服务水平下的存储补充水平分别为 ６９０ 箱和 ７１７ 箱，且服务水平越高，存储补 充水平越大。如本次检查时商品的库存量为 ２０ 箱，则在第一种服务水平条件下，本次 订货为 ６７０ 箱（及时补充）。 ４）（ｓ，Ｓ）型存储策略
当供大于求 r ≤ r ) p( r ) = h∑ (Q − r ) p( r )
当供不应求 r > Q ，因失去销售机会而少赚钱的期望损失为
r = Q+1 Q
r= 0 r= 0
Q
Q
∑
∞
k ( r − Q) p( r ) = k
r =Q +1
d d
Q
∫ [(P − K )r − (K − W )( Q − r )]ϕ(r )dr
0 ∞
当供不应求 r > Q ，盈利的期望值
Q
∫ (P − K )Qϕ (r )dr
Q ∞
因此盈利的总期望值为
C (Q) = ∫[( P − K ) r − ( K − W )(Q − r )] ϕ ( r ) dr + ∫ ( P − K )Qϕ ( r ) dr
第八章 存储论 １．确定型存储模型
1 R C (Q) = C1Q + C3 + KQ 2 Q 1 C C (t ) = C1Rt + 3 + KRt 2 t P C1 + C2 Q = Rt ， Y1 = ， Y2 = P−R C2
１）不允许缺货，生产时间很短，已知 C1 ， C3 ， R ，求 t 0 ， Q0 ， C0 ， S0
t0 =
2C3 ， Q0 = C1R
2C3R ， C0 = 2C1 C3 R ， S0 = Q0 （ S0 为最大存储量） C1
２）不允许缺货，生产需一定时间，已知 C1 ， C3 ， R ， P 求 t 0 ， Q0 ， C0 ， S0