弯曲正应力
F
F
a
l
FS
F Fa
M
梁的正应力 强度条件为
a
F
y
O z
x dA
dA z
x
y
My
t,max [ t ]
或
Iz M max
c,max [ c ]
Wz
弯曲切应力
t1max
tmax
tmax
z
z tmax O
y1 y
y
梁的切应力 强度条件为
dA
t
FS
S
* z
Izb
y tmin
t F S * S,max z,max
Izb
横力弯曲梁的强度条件：
max 强度 t max t 足够
设计截面时 max
确定截面尺寸
验 证
t max t
弯曲位移——积分法
q(转角)
A
q
C1 w(挠度)
y
1 M (x)
r EIz
对等直梁： EIw M x
B x
EIw M xd x C1
l
l 0
dx
l 0
x
d
x=
l FN (x) d x ql2
0 EA
2EA
Vε W
l FN2 ( x) d x 0 2EA(x)
扭转
Me
Me j
g
j Tl
GI p
Vε
T 2l 2GI p
T
r
tmax
T
tr
tmax
tmax
O
tr
O
tmax r
d
d
t max
Tmax Wp
[t ]
D
jm ax
基本变形回顾
•四种基本变形：
• 两类问题：强度与刚度
轴向拉（压）、圆轴扭 转、对称弯曲、剪切
轴向拉伸或压缩：
F
FF
F
F
m FN
m
x
max
FN,max A
[ ]
FN m
m
F
l FNl
EA
Vε
W
FN 2l 2EA
ql A
FN(x) +d FN(x)
q
FN(x)
l x
dx
dx
q
FN(x)
B
B
杆纵向的总伸长量
2 钢板孔壁和铆钉杆挤压破坏
挤压力 Fb P
挤压力 Fb P
挤压面面积
Abs dt 名义挤压应力
bs
Fb Abs
3 钢板被拉断破坏
FNmax P A (b d )t
钢板的拉伸正应力
FN
P
FN
+
x
A
求解超静定问题的步骤：
(1) 根据分离体的平衡条件，建立独立的静力 平衡方程；
EIw [ M xd x]d x C1x D1
弯曲位移——叠加法
1）小变形，轴向位移可忽略；
2）线弹性范围工作。
因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可 用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。
重点关注外伸梁的叠加法以及对称性反对称 性的运用技巧。
梁的刚度校核
wmax l
w l
qmax q
Me
Me
纯弯梁的弯曲应变能为：
Vε
W
1 2
M eq
M e2l 2EI
F
A
B
横弯梁的弯曲应变能为：
Vε
l
0 dVε
l M 2 x dx
0 2EI
剪切变形
1 铆钉剪切破坏
剪力 FS P 剪切面积 A πd 2
4
名义切应力
FS
t FS
A
可见，该实用计算方法认为剪切切应力在剪切 面上是均匀分布的。
My
Iz
弯曲变形的线应变
应力
根据矩形截面的对称性以及
FN
dA0
A
确定水
平对称轴是中性轴。
则
矩形截面梁切应力公式的推导
F1
F2
q(x)
mn
mn
x
dx
m' n'
h
z M(x) m FS(x) O
n M(x)+d M(x)
z
x FS(x)
y1
m' y m n
b dx
b
h
z
y m' n'
mn
r ——中性层的曲率半径
物理方面——单轴应力状态下的胡克定律
不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状
态。当 <p，且拉、压弹性模量相同时，有
y r
E
E
y
r
O z
dA dA
z y
y
即直梁的横截面 上的正应力沿垂 直于中性轴的方 向按直线规律变 化。
静力学方面
O
dA dA
y
FN
dA0
A
E
E
A1
y
dA A B
ym n
z
横截面上纵向力不平
衡意味着纵截面上有水平 剪力，即有水平切应力分
y1 y A1 O B1 d F S x
布。
d
F
S
FN*2
FN*1
而横截面上纵向力的大小为
FN*1
dA A B
m' b
y mdx

n FN*2
FN*1
A* 1 d A
My1 d A M
I A* z
F
ac a' c'
F
b' d'
bd
FN
d A A
A
FN
A
圆轴扭转切应力公式的推导
a
b
T
T
r E O1 gr G O2
Ag
D
dj
G'
D'
a
dx
b
gr
r
dj
dx
d
r
E O1
dx
gr G
O2
Ag
D
dj
G'
D'
gr r
物理方面
剪切胡克定律 t Gg
静力学方面
gr
r
dj
dx
tr
Gr
dj
dx
rt A
d
2 2
d1d2
d
d3 3
21
d12
Vε
l T 2(x) d x 0 2GIp (x)
弯曲内力（没单独考过）
Me
Me
F
A
B
剪力和弯矩的符号规则
几种常见荷载下FS 图和M 图的特征
q c 0 (向上） q c 0 (向下） q 0
FS (x) 0 时，弯矩M(x)为极值。
集中力作用处 集中力偶作用处
Tmax GI p
180 π
[j]
j dj l T d x
l
0 GI p
d ( x)
d 1
d2
l
d1
x
j
l
Tdx
0
G
π[d1
d2
l
d1
x]4
32
j
l
Tdx
0
G
π[d1
d2
l
d1
x]4
32
32Tl 4 3Gπ(d2
d1 )
[
1 (d2l)3
1 (d1l )3
]
32Tl 3Gπ
Iz
A*
y1 d A
M Iz
S
* z
面积AA1mm' 对中性轴 z的静矩
y
r
E
r
A
yd
A
ESz
r
0
z 得 Sz 0 即中性轴 z是形心轴。
z y
M y
z d A 0
A
E
r
A
yz d
A
EI yz
r
0
I yz 0
对称弯曲时此条件将自动满足。
y
O z
dA dA
z y
弯曲正应力计算公式
M z
y d A M
A
E
E
y
r
E
r
A
y2 d A
EI z
r
M
得
1 M
r EIz
(2) 根据变形协调条件，建立补充方程
(3) 利用胡克定律或其他的力与变形的关系， 得到力的补充方程；
(4) 联立求解。
轴向拉压正应力公式的推导
从平面假设判断： （1）所有纵向纤维伸长相等 （2）因材料均匀，故各纤维受力相等 （3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量
亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
r
d
A
T
G dj r 2 d A T
dx A
tr r
得
dj T
d x GIp
tr
Gr
T GI
p
Tr
Ip
r
T
r trdA O r
trdA
弯曲正应力公式的推导
Me
Me
y
}
C
r
dq
O1 dx O2
mn aa bb mn
O1O2 d x r dq AB (r y) dq
A
B1 B
B1B B1B y AB1 O1O2 r