《汽车有限元基础》2009-2010二学期考试试卷
《汽车有限元基础》2009-2010第二学期考试试卷
一、填空题
1. 有限元法的基本思想是用个单元的集合来代替原来具有个自由
度的连续体。

2. 单元刚度矩阵K中元素K ij的物理意义：当单元第j个自由度产生而其它自由度固定时，在第i个自由度产生的。

3．按照各杆轴线及外力作用线在空间的位置，杆系结构可分为：
和。

4．平面刚架中各单元发生轴向拉压变形及面内的弯曲变形，而且这两种变形相互独立，因此刚架单元可以看成是由单元和单元叠加而成。

因此，平面刚架单元的节点位移应包含个平动分量和个转动分量。

5．工程中常用的薄板单元有：单元和单元。

6．有限元分析的主要步骤先后为：(1) 网格划分, (2) , (3) 。

7. 单元特性分析的主要内容先后为：(1) 、(2) 、(3) 应力或内力、(4) 、(5) 单元节点载荷。

8．对于弹性变形体，承受的外载荷共有三种：集中载荷、和。

在有限元法中，对于没有作用在节点上的这些外载荷，是按照的原则将其移置到节点上。

9．工程中任一平板，若其厚度为t，板面宽度为b，当t/b小于时可以认为是薄板。

常用的薄板单元有：单元和单元。

10．薄壳单元中的应力可看成平面应力问题和问题中两种应力的叠加。

11．求解结构系统的动力响应时，常用的两种求解方法为：和
12．在有限元分析中，为了描述几何模型和有限元模型，需要用到几种坐标系：
(1) (2) (3) 和(4)
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二、 问答题
1．某一薄板矩形单元的节点编号按照逆时针依次为i 、j 、m 和p 。

假设该单元每个节点的位移表示为{}{}T
yi xi i i w θθδ=，
(i, j, m, p )；该单元每个节点的载荷表示为{}{}T
iy ix
i
i T T Z F θθ=，(i, j, m, p )。

请写出该单元的单元节点位移列阵和单元
节点载荷列阵。

2．请写出使用有限元分析软件时，进行数据前处理的主要工作内容。

3．右下图为一典型三节点三角形平面单元，节点按照逆时针依次编号为i 、j 和m ，节点的坐标依次为(x i ，y i )，(x j ，y j )、（x m ，y m ）。

假设单元内任意一点的两个位移分量分别表示u 和v 。

请写出该单元位移模式的多项式形式，并简述待定常数个数的确定理由。

4. 请简述针对动力问题的有限元分析的基本步骤。

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5.什么是等参数单元？并各列出一种用于平面问题和空间问题的等参数单元。

6.请简述有限元分析的基本步骤。

三、 推导题（要求：写出具体推导过程）
1．假设某单元的单元节点位移列阵为{}e
δ；该单元的位移模式为：
{}[]{}e
N f δ=，[]N 为单元形函数矩阵；该单元的几何方程为：{}[]{}e
B δε=，其中[]B 为应变转换矩
阵；该单元的物理方程为：{}[]{}εσD =，其中[]D 为弹性矩阵。

请利用虚位移原理，推导该单元的单元刚度矩阵[k ]e 的表达式。

（15分）
2．右下图为一等截面的拉压直杆单元，节点的编号分别为i 和j ，沿轴向建立坐标系x ，单元任意点的位移表示为u 。

设该单元的横截面积为A ，长度为l 。

请推导
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出该单元的位移模式和单元刚度矩阵。

(提示：拉压直杆单元只有轴向应变x u d /d =ε，轴向应力为εσE =) 答：
3．对于下面结构已经完成了
网格划分，节点编号为1和2，单元编号为①，坐标系定义如下图所示。

请写出所有的节点位移约束条件。

（共5分）
(1) 拉杆
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(2) 简支梁
(3) 平面悬臂梁
4.利用虚功原理，请推导出4节点四面体单元的单元刚度矩阵[k]e 的具体表达式（要求写出推导过程）。

已知：
首先假设单元的节点位移向量表示为{}e
δ，且有：
(1) 单元的位移函数：{}[]{}e
N f δ=，其中[]N 为单元形函数矩阵；
(2) 单元的应变：{}[]{}e
B δε=，其中[]B 为应变矩阵；
(3) 单元的应力：{}[]{}εσD =，其中[]D 为弹性矩阵； 推导（基于上述已知条件进行推导）：
5．薄壳单元特性分析是在各单元的局部坐标系中进行的，因此整体分析时常需要统
一到总体坐标系中。

设局部坐标系的y 轴与总体坐标系XYZ 的Y 轴一致，
z 轴与Z 轴间的夹角为ϕ，如右下图所示。

请写出局部坐标系下的位移分量w v u ,,和总体坐标系下的位移分量W V U ,,之间的关系，用矩阵形式表示出来。

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四、计算题
已知正方形薄板，沿其对角承受压力作用，载荷沿厚度均匀分布，如下图所示。

如果选用3节点三角形单元对该平面问题进行有限元分析，根据对称性，可以只分析板的1/4(左上图灰色区域)，图中已完成坐标系的建立和网格划分，其中共有6个节点，分别标记为1、2、3、4、5和6；共构成4个单元，分别标记为①、②、③和④。

假设单元任意点沿x轴和y轴的位移分量分别表示为：u和v。

请依次完成下面问题。

(1)请写出所有单元的节点的整体编号情况，格式如下面给出的单元①所示；
单元①： (5,3,2) 单元②：
单元③：单元④：
(2)请写出所有节点在直角坐标系Oxy中的位置坐标（单位: m）；
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=
=
==========665544332211y x y x y x y x y x y x
(3) 请写出所有单元的单元刚度矩阵（提示：按照问题(1)中的单元节点编号）。

要
求：格式如给出的示例。

单元①：
()
[]()⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣
⎡
=132
1k k e
单元②:
()
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡
=e
k 2 单元③：
()[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=e
k 3 单元④：
()
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=e
k 4 (4) 写出总体刚度矩阵。