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2005-2006学年秋季学期《 随机分析 》课程期末考试试题B
说明：学生必须将答案全部写在答题纸上，凡写在试题上的一律无效。
学生可随身携带计算器。
一、填空题（每小题3分，共计10×3＝30分）
1）随机变量()2~,X N μδ，则其矩母函数()=t g 。
2）(){}0,≥t t N 为以参数2=λ的Possion 过程，则()()}{=2211＝且＝N N P 。
3）设Poisson 过程(){}0,≥t t N 的强度为3，n X 表示过程第1-n 次与第n 次事件的
时间间隔，则}{=n X E ，
}{=n X D 。
4）设某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的Poisson 过程，订阅1年、2年、3年的概率分别21， 31和6
1，且相互独立。
订阅一年时，可得1元手续费。
以()t X 记在[]t ,0得到的总手续费。
则()}{=t X E ＝ ，()}{=
t X D ＝ 。
5）考虑状态0，1，2的一个Markov 链{}0,≥n X n ，其一步转移概率矩阵为
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1.08.01.04.02.04.06.03.01.0P ，初始分布为2.0,5.0,3.0210===p p p ，则
()====1,0,1210X X X P 。
6）已知状态为1，2，3，4的齐次Markov 链{}0,≥n X n 及其一步转移概率矩阵为
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⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0100231000001005.05.0P ，则=33f ，()=∞→n n P 33lim 。
7）已知齐次Markov 链{}0,≥n X n 的一步转移概率矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=4.0006.03.05.002.0075.025.00007.03.0P ，求其平稳分布=π 。
8）已知平稳过程()()Θ+=t a t X ωcos ，()π2,0~U Θ，0≠ω，则此过程1阶导数的协方差函数为 。
9）已知平稳过程的谱密度函数()ωS ，则其对应的协方差函数为()=τX R 。
10）已知随机过程()}{10,≤≤≤t s t B 为Brown 桥过程，则其数学期望为 ，自相关函数为 。
二、某小商店上午8：30时开始营业，从8：30时到11：30 时平均顾客到达率线性增
加。
从8：30时开始顾客平均到达率 为5人每小时，11：30时到达率到高峰，为20人每小时，从11：30至下午1时到达率不变，从下午1时至5时顾客到达率呈线性下降，到下午5时顾客到达率为12人每小时。
设在不相重叠的时间间隔内到达的顾客是相互独立的。
求在上午9点到11点无顾客到达的概率和该段时间内顾客到达的数学期望。
（15分）
三、我国某商品在国外销售情况共有连续24个季度的数据（1表示畅销，2表示滞销）；112122111212112211212111，如果该商品销售状态满足Markov 性和齐次性。
则1）求出销售状态的一步转移概率矩阵；2）如果现在是畅销，试预测这以后第四个季度的销售状况。
（15分）
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第 - 3 - 页 共 -3- 页 四、已知零均值的平稳过程()t X ，其功率谱密度函数为()86242
++=ωωωωS ，求此平
稳过程的相关函数和均方值（10分）
五、设()()}{∞+∞-∈,,t t W 是参数为2σ的Brown 运动，若()()t dW t Y t dW t X ⎰⎰==1
0103,，
试求Y X ,的均值和方差，并求()Y X Cov ,（10分）
六、证明题（2×10分＝20分）
（1）记 ,2,1,=i Z i 为一串独立同分布的离散随机变量。
若定义
0,,2,1,01
===∑=X n Z X n
i i n 。
试证n X 为Markov 链。
（2）设()()}{∞+∞-∈,,t t X 是随机过程，()()Θ+=t a t X ωcos ，()π2,0~U Θ，0≠ω，
试证()t X 具有均值遍历性。