第 一 章乘法公式、指數基本運算與多項式§§乘法公式、指數基本運算與多項式1.乘法公式： (1)(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (2)(a -b)2 =a 2-2ab+b 2(3)(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca (4)(a+b)(a -b)=a 2-b 2 (5)(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (6)(a -b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3(7)(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3= a 3+b 3+3ab(a+b) (8)(a -b)3=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3= a 3-b 3-3ab(a -b) (9)(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab (10)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(11)(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)=a 3+b 3+c 3-3abc 2.指數律： (1)a m ×a n =a m+n(2)a m ÷a n =a m -n ---a ≠0(3)(a m )n =a m×n(4)(ab)n =a n b n(5)n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛---b ≠0(6)a ≠0⇒a 0=1(7)n na1a =----a ≠0 (8)n n1a a =---a>0 (9)nm a =n m a ---a>03.求值公式：[型一]已知a+b 和ab 之值：(1)a 2+b 2=(a+b)2-2ab (2)a 3+b 3=(a+b)3-3ab(a+b) (3)a 4+b 4=(a 2+b 2)2-2a 2b 2 (4)(a -b)2=(a+b)2-4ab[型二]已知a -b 和ab 之值：(1)a 2+b 2=(a -b)2+2ab (2)a 3-b 3=(a -b)3+3ab(a -b)(3)(a+b)2=(a -b)2+4ab[型三]分式型，已知x1x +或x1x -之值：(1)2x 1x x 1x 222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+(2)2x 1x x 1x 222+⎪⎭⎫⎝⎛-=+(3)4x 1x x 1x 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-(4)4x 1x x 1x 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+(5)⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x 1x 3x 1x x 1x 333 (6)⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x 1x 3x 1x x 1x 3334.商高定理(畢氏定理)：∆A BC 中，∠C=900，則22AB BC AC =+， 即直角三角形兩股長的平方和等於斜邊的平方。

常見的直角三角形三邊長：(1)四類型：(3，4，5)、(5，12，13)、(7，24，25)、(8，15，17)。

(2)將五類型的三邊按一定比例放大或縮小也可成為直角三角形。

例：(3，4，5)→(6，8，10)→(9，12，15)→……。

5.坐標平面上兩點間的距離及中點坐標求法：設坐標平面上相異兩點A (x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，O 為原點，則： (1)()()221221y y x x AB -+-= (2)AB 中點M 的坐標為⎪⎭⎫⎝⎛++2y y ,2x x 2121B C6.多項式的基本概念：(1)多項式的判別：多項式為一有限項的代數式之和，且未知數不可在①分母②根號內③絕對值內④指數上。

(2)多項式的次數：①單一文字−以最高次項之次數為其次數。

②多文字−以各項次數和最高者為其次數。

例：①x3-2x4-7x+5為x的四次多項式。

②x4-4x2y3-x2y4+3y5-9為x、y的六次多項式。

(3)升羃排列：將文字之次數由左而右，由小而大排列。

降羃排列：將文字之次數由左而右，由大而小排列。

(4)常數多項式：不含文字的多項式。

①零次多項式：除常數項≠0外，其餘各項係數皆為0。

②零多項式：各項係數皆為0。

※無次數可言。

(5)多項式的值：多項式f(x)中，若x以某一數(式)代入，所得結果即為其值。

7.多項式的加減法：(1)法則：將同類項的係數相加(減)，不是同類項無法合併，以加(減)號連接。

(2)設A、B表兩多項式，其次數分別為m、n，則：①若m＞n⇒A±B為m次多項式。

②若m＜n⇒A±B為n次多項式。

③若m=n⇒A±B其次數不大於m或無次數可言。

(3)若ax2+bx+c=px2+qx+r⇒a=p，b=q，c=r。

8.多項式的乘法：(1)法則：①運用分配律及指數律和乘法公式。

②分離係數法(依降羃排列，缺項補0)(2)設A 、B 表兩多項式，其次數分別為m 、n ⇒A×B 之次數為m+n 。

(3)設A 、B 、C 三多項式之係數和分別為S 1、S 2、S 3，若A×B=C ，則S 1×S 2=S 3。

(4)第x p 項係數的求法：所有x a ×x b =x p 中之係數乘積之和， 即為x p 項之係數。

9.多項式的除法：(1)法則：①長除法；②分離係數法(依降羃排列，缺項補0) (2)設A 、B 表兩多項式，其次數分別為m 、n(m ≧n)，則： ①A 除以B 之次數為m -n 。

②餘式的次數必小於除式的次數。

(3)除法關係式：設A 、B 表兩多項式且A 除以B ，商為Q ，餘式為R 。

則：①A=BQ+R 。

②BRQ B A +=。

(4)若A=BQ+R ，則： ①aA=B×aQ+ar ；即被除式變a 倍，而除式不變，則商變a 倍，餘式變a 倍。

②A=aB×aQ+R ；即被除式不變，而除式變a 倍，則商變a1倍，餘式不變。

10.餘式定理：(1)f(x)除以(x -k)的餘式是f(k)；若f(x)能被(x -k)整除，則f(k)=0。

(2)f(x)除以(ax+b)的餘式為f(-ab )。

例1.求下列各式的值：(1)(4132)2-(2841)2 (2)224553- 解： 【答：(1)242；(2)28】例2.求19992-2×19982+19972之值。

【答：2】解：例3.設a+b=5、ab=3，求(1)a 2+b 2 (2)a -b (3)3a 2+4ab+3b 2 (4)a 3+b 3之值。

【答：(1)19 (2)13± (3)69 (4)80】解：例4.在ΔABC中，BC x+2，CA=2x-3，AB=3x-7，若周長為16，求ΔABC的面積。

【答：12平方單位】解：例5.(1)已知A(-2，6)，B(4，-2)兩點，求AB的長。

(2)坐標平面上A(2，-1)，B(a，3)，若AB=5，求a。

解：【答：(1)10 (2)5或-1】例6.若f(x)=3x3+mx2-nx+4，且f(-1)= -1，f(2)=2，求m、n的值。

解：【答：m= -5，n=3】例7.有一數學題目：「二多項式A 、B ，B 為6x 3+5x 2+7x -3，試求A -B 」。

小山誤將「A -B 」看成「A+B 」，結果求出答案是「3x 2-5x+9」，請問A -B 的正確答案是多少？ 【答：-12x 3+13x 2-19x+15】解：例8.若多項式2x 3+3x 2+kx -3與(2x+3)(ax 2+b)相等，其中a 、b 、k 為常數，求k 的值。

【答：-2】解：例9.設f(x)為一多項式，且)x (f 31x 2)x (f 1x 3x 42-+=-+，求f(x)。

解： 【答：2x 2-x+2】例10.多項式A 被x -1除，得餘式為1，求多項式A 與(x+1)的乘積被(x -1)除所得的餘式。

【答：2】解：例11.利用公式(x±x 1)2=x 2±2±2x 1，求下列各數： (1)49151(2)81179 【答：(1)717 (2)988】解：1.求下列各式的值：(1)1998×2002 (2)(1006-11)2-(1001-16)2解：2.求10012+9992-2×1002×998之值。

解：3.設a-b=7，ab=1，求(1)a2+b2(2)a+b (3)a2-b2(4)a3-b3之值。

解：4.若直角三角形的兩股和為23公分，斜邊長為17公分，求三角形的面積。

解：5.坐標平面上兩點A(-5，6)，C(1，-2)，若A、C為長方形ABCD 的兩個頂點，且AB平行x軸，AD平行y軸，求長方形ABCD的對角線長。

解：6.設f(x)=x2+ax-b，3f(2)-4f(1)=7，f(3)=5，求a+b的值。

解：7.兩多項式A、B，已知B為2x+1，欲求A+B，但小晴將A+B看成A÷B，得結果是4x2-2x+1，求A+B之正確答案。

解：8.若2x2+3x+7=a(x+1)(x-1)+b(x+2)(x-2)+(x+2)(x+1)，求a+b的值。

解：9.設f(x)=x3+ax2+bx+5能被x+1整除，且被x-2除，所得餘式為-9，求(1)f(x) (2)f(x)除以(2x-1)的餘式。

解：10.若f(x)被x+2除餘3，被x -3除餘4，求f(x)除以(x+2)(x -3)的餘式。

解：11.利用公式(x±x 1)2=x 2±2±2x 1，求下列各數： (1)81183(2)1211119 解：。