固体物理部分题目答案
注：这些题目可能与课本上有出入，大家抄题时以课本为主。

还有其它题目请大家自己解决。

（本题可能与5.3题有关）6.3若将银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量 1)费密能量和费密温度
2）费米球半径 3）费米速度 4） 费米球面的横截面积
5） 在室温以及低温时电子的平均自由程
解 1）费密能量2
022/3(3)2F
E n m
π=h 210/3(3)F k n π=
6293
313410.5100.58610/107.87
9.11101.0510A n N m m kg J s
--=⨯⨯=⨯=⨯=⨯⋅h 0198.8210 5.5F E J eV -=⨯= 费密温度046.410F F B
E T K k ==⨯ 2) 费密球半径
020()2F F
k E m =h
0F k =0198.8210F E J -=⨯ 01011.210F k m -=⨯ 3) 费密速度0F F k v m =h 61.3810F v m s =⨯ 4) 费密球面的横截面积02022(sin )sin F F S k k πθπθ== ――θ是F k u u r 与z 轴间夹角
21/3(3)F k n π= 2223
(3)sin S n ππθ= 5) 在室温以及低温时电子的平均自由程 电导率1σρ
= 20()1
F nq E m τρ= 驰豫时间02()F m E nq τρ=平均自由程0()F F l v E τ= 2F mv l nq ρ=2F k nq ρ
=h 0 K 到室温之间的费密半径变化很小01011.210F F k k m -==⨯ 平均自由程02F k l nq ρ=h 将 19293
34010162956201.6100.58610/1.05101.2101.61100.03810F T K T K q C
n m J s k m cm
cm
ρρ----=-==⨯=⨯=⨯⋅=⨯=⨯Ω⋅=⨯Ω⋅h 代入
8295 5.241052.4T K l m nm -==⨯=
6320 2.210 2.210T K l m nm -==⨯=⨯
6.2已知一维晶体的电子能带可写成)2cos cos ()(818722
ka ka ma
k E +-=η式中a 为晶格常数， 试求：(i)能带宽度 )2cos cos ()(818722
ka ka ma
k E +-=η (ii)电子在波矢k 时的速度 (iii)能带底和顶的有效质量
解：(i) 0=dk
dE 可解得：
2
cos ;sin 0cos sin 2
1sin ;02sin 4
1sin ===-=-ka o ka ka ka ka ka ka 因为ka 为实数，若只有sin ka =0存在，则ka =n π；
222,;0)(,0,1;0,0ma
a E a k o E k a
k n k n η=⎪⎭⎫ ⎝⎛=======πππ
时时 能带宽2
2
2ma η= （ii ）)2sin sin (11)(82
22
ka ka a ma
dk dE k V a -⋅==ηηη )2sin (sin 41ka ka ma
-=η （iii ）)2cos 21(cos ;12221*222ka ka m dk E d m dk E d -==ηη 带底位于m k m o k m 21)0(21*22=⋅=
=→=ηη 带顶位于m a k m a k m 3
21
)(2321
*22-=⋅⋅==→=-ηηπ
π 本题与计算题有关证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立。

解 由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯v v v v v v 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯v v v v v v 123123
2a a b a a a π⨯=⋅⨯v v v v v v 体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a a a i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+v v v v v v v v v v v v 倒格子基矢231123022()()22
a a a a
b i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯v v v v v v v v v v v v 202()()4a i j k i j k v π=⋅-+⨯+-v v v v v v 2()j k a π=+v v 同理31212322()a a b i k a a a a ππ⨯==+⋅⨯v v v v v r r r 32()b i j a π=+v v v 可见由123,,b b b v v v 为基矢构成的格子为面心立方格子，面心立方格子原胞基矢 123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+v v v v v v v v v 倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯v v v v v v 12()b i j k a
π=-++v v v v 同理22()b i j k a π=-+v v v v 32()b i j k a π=-+v v v v 可见由123,,b b b v v v 为基矢构成的格子为体心立方格子
2.2证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln 2α=.
证 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r 表示相邻离子间的距离，于是有
(1)11112[...]234j ij r r r r r r α±'==-+-+∑
前边的因子2是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为 234(1) (34)
n x x x x x x +=-+-+Q l 当X=1时，有1111 (2234)
n -+-+=l 3.2 （本题可能与3.2题有关） 计算一维单原子链的频率分布函数()ρω 解 设单原子链长度L Na =
波矢取值2q h Na π=
⨯ 每个波矢的宽度2Na π 状态密度 2Na π
dq 间隔内的状态数2Na dq π —— 对应,q ω±取值相同，d ω间隔内的状态数目
()22Na d dq ρωωπ
=⨯ 一维单原子链色散关系 224sin ()2
aq m βω= 令04m βω= 0sin()2
aq ωω= 两边微分得到 0cos()22a aq d dq ωω= 220cos()12aq ωω=- 2202
a d dq ωωω=- 2202a d dq ωωω=
- 220dq a ωω
=- 代入()22Na d dq ρωωπ=⨯2202d ωπωω=⨯- 即一维单原子链的频率分布函数220()ρωπωω=
-
（本题可能与2.10题有关） 1112[1...]234α=-+-+22n α∴=l。