第十九届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题及解答一、填空题（每小题3分，共30分）1．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+∞→1)2(lim 6123x e x x x x x = 1/6 .2．设)(x f 连续，在1=x 处可导，且满足 )0(,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x －2 . 3．设)(x y y =是由0sin )ln(2=-⎰+-yy x t dt e y 所确定的函数,则==0y dxdy－1 .4. 设243),(lim2200=+-+→→yx yx y x f y x , 则='+')0,0()0,0(2y x f f －2 . 5.1sin 1cos x x e dx x +=+⎰tan 2xx e C + . 6．设函数()u ϕ可导且(0)1ϕ=，二元函数()xyz x y e ϕ=+满足0z zx y∂∂+=∂∂，则()u ϕ=24u e -.7. =+=+≤+⎰⎰Ddxdy y x I y x y x D )32(,:22则设π45. 8. 数项级数∑∞=--1)!2()!2()1(n nn n n n 的和=S －1+cos1+ln2.9. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪++++= ⎪++++⎪⎝⎭2ln21- .10.=='==+'+''⎰∞+0)(1)0(,0)0(044)(dx x y y y y y y x y 则，，且满足方程函数设41 .二、(10分) 计算⎰⎰+1010]22[dxdy y x , 其中 [x ]为不超过x 的最大整数.解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----++=+xx xx dy dx dy dx dy dx dxdy y x 101211212102102101010]22[+++⎰⎰⎰⎰---dy dx dy dx x xx2311211121022⎰⎰-1231213x dy dx =23三、(10分) 求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→nn n n n n 11111lim 12. .2)1()1(21)11(lim )11ln()111ln()1()11(lim ,0)1()1(21)11ln()111ln()1(,),1(211)11ln( ,),11()1(211)111ln()1(.1)11(lim 2222)11ln()111ln()1(2e n o n n n n n n n n n n n no n n n n n n n no n n n n n o n n n e n n n n n n n n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=∴∞→→++=+-+++∞→+-=+∞→+++-=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→∞→+-+++∞→原式所以由于原式解四、(10分) 设f (x )在 [0,1] 上连续, f (0)= f (1) , 求证: 对于任意正整数ｎ，必存在]1,0[∈n x ，使)1()(nx f x f n n +=．证明 令.,]11,0[)(),1()()(m M nx n x f x f x 及最小值所以有最大值上连续在-+-=φφ 于是有 ,1,,1,0,)(-=≤≤n k M n k m φ 所以 .)(11M nknm n k ≤≤∑-=φ故存在],11,0[nx n -∈ 使 .0)]1()0([1)]1()1()2()1()1()0([1)]1()1()0([1)(1)(10=-=--++-+-=-+++==∑-=f f nf n n f n f n f n f f n n n n n n k n x n k n φφφφφ)1()(nx f x f n n +=．五、(10分) 设),(y x f 有二阶连续偏导数, ),(),(22y x e f y x g xy +=, 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.解 ))1(()1(),(22y x o y x y x f +-+---=,由全微分的定义知 0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-='='y x f fx f y e f g xy x 221⋅'+⋅'=' y f x e f g xyy 221⋅'+⋅'=' 0)0,0(='x g 0)0,0(='y g 2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xyxy xy xy x '+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xyxy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211⋅''+⋅''++⋅'+⋅''+⋅''=''2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xyxy xy xy y'+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' A=2)0,1(2)0,0(22-='=''f g x 1)0,1()0,0(1-='=''=f g B xy 2)0,1(2)0,0(22-='=''=f g C y 032>=-B AC , 且0<A , 故0)0,1()0,0(==f g 是极大值. 六、(10分) (容器侧壁的形状问题)一容器的侧面是由曲线)0()(≥=y y f x 绕铅直中心轴y 轴旋转而成, 其中)(y f 在),0[+∞ 连续, 容器底面(过x 轴的水平截面)为半径R =1的圆(即f (0)=1). 当匀速地向容器内注水时, 若液面高度h 的升高速度与(2V +π)成反比(这里V 表示当时容器内水的体积) ,求容器侧壁的轴截线)(y f x =. 解 设在时刻t , 容器内水的液面高度为h , 而水的体积为V , 则有dy y f V ⎰=h2)(π.于是有dtdh h f dt dh dh dV dt dV )(π2=⋅=. 根据题意, π+π=π+==⎰hdy y f k V k dt dhk dt dV 02221)(22, , 代如上式, 可得,)(2)(02221π+π⋅π=⎰hdy y f k h f k 化简得 ])(21[)(02212⎰+=hdy y f k k h f .由 f (0)=1 可得 21k k =, 上式两端同时对h 求导得)(2)()(22h f h f h f =', 即 )()(h f h f ='.求出满足f (0)=1 的解为he hf =)(, 即容器侧壁的轴截线为ye yf x ==)(.七、(10分) 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且,0)(,0)(<'>a f a f 而当a x >时, ,0)(≤''x f 证明在(,)a +∞内，方程()0f x =有且仅有一个实根．证明 由于当x a >时，,0)(≤''x f ，因此'()f x 单调减，从而'()'()0f x f a ≤<，于是又有()f x 严格单调减．再由()0f a >知，()f x 最多只有一个实根．下面证明()0f x =必有一实根．当x a >时，()()'()()'()()f x f a f x a f a x a ξ-=-≤-，即()()'()()f x f a f a x a ≤+-，上式右端当x →+∞时，趋于-∞，因此当x 充分大时，()0f x <，于是存在b a >，使得()0f b <，由介值定理存在()a b ηη<<，使得()0f η=．综上所述，知()0f x =在(,)a +∞有而且只有一个实根．八、(10分) 是其中求且有连续的二阶导数设)(,)()(lim,0)(,0)0()0(,)(0)(00x u dtt f dtt f x f f f x f x x u x ⎰⎰+→>''='=.))(,()(轴上的截距处切线在在点曲线x x f x x f y =.81)]()0([))](()()0(21)[(lim )]([)())((lim )()())((lim )()(lim ).(2)()()0()()()0(21)(.)]([)()()(,)()()(),)(()(22202000)(00222=+''+''''='''='=+=+''='+''='''=''-=-'=-++++→→→→⎰⎰x o x f x u o x u f x f x f x f x u f x f x u x u f dt t f dtt f x o x x u x o x f x f x o x f x f x f x f x f x u x f x f x x u x x X x f x f Y x x x x x u x 由洛必达法则有，知，由于是轴上的截距为它在切线方程：解。