-立体几何中的传统法求空间角
知识点:
一.异面直线所成角:平移法
二.线面角
1.定义法:此法中最难的是找到平面的垂线.1.)求证面垂线,2).图形中是否有
面面垂直的结构,找到交线,作交线的垂线即可。
2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA
三.求二面角的方法
1、直接用定义找,暂不做任何辅助线;
2、三垂线法找二面角的平面角.
例一:如图,在正方体错误!未找到引用源。
中,错误!未找到引
用源。
、错误!未找到引用源。
分别是错误!未找到引用源。
、
错误!未找到引用源。
的中点,则异面直线错误!未找到引用
源。
与错误!未找到引用源。
所成的角的大小是
______90______.
考向二线面角
例二、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩
形,AD⊥PD,BC=1,
PC=23,PD=CD=2.
(I)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(II)证明平面PDC⊥平面ABCD;
(III)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
N
M
B1
A1
C1 D1
B
D C A
练
习
:
如图
,
在
三棱锥
P ABC
-中,
PA ⊥底面
,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=,
点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC
(Ⅰ)求证:BC ⊥平面PAC ;
(Ⅱ)当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值;
(Ⅰ)∵PA ⊥底面ABC ,∴PA ⊥BC .
又90BCA ︒
∠=,∴AC ⊥BC .
∴BC ⊥平面PAC .
(Ⅱ)∵D 为PB 的中点,DE//BC ,
∴1
2
DE BC =
, 又由(Ⅰ)知,BC ⊥平面PAC , ∴DE ⊥平面PAC ,垂足为点E .
∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角, ∵PA ⊥底面ABC ,∴PA ⊥AB ,又PA=A B , ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴2
AD AB =
, ∴在Rt △ABC 中,60ABC ︒
∠=,∴1
2
BC AB =
. ∴在Rt △ADE 中,2
sin 24
DE BC DAE AD AD ∠=
==,
考向三: 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角
例三:.定义法(2011广东理18)
如图5.在椎体P-ABCD 中,ABCD 是边长为1的棱形, 且∠DAB=60︒,2PA PD ==,PB=2,
E,F 分别是BC,PC 的中点.
(1) 证明:AD ⊥平面DEF;
(2) 求二面角P-AD-B 的余弦值. 法一:(1)证明:取AD 中点G ,连接PG ,BG ,BD 。
因PA=PD ,有PG AD ⊥,在ABD ∆中,1,60AB AD DAB ==∠=︒,有ABD ∆为
等边三角形,因此,BG AD BG PG G ⊥⋂=,所以AD ⊥平面
PBG ,.AD PB AD GB ⇒⊥⊥
又PB//EF ,得AD EF ⊥,而DE//GB 得AD ⊥DE ,又FE DE E ⋂=,所以AD ⊥
平面DEF 。
(2),PG AD BG AD ⊥⊥,
PGB ∴∠为二面角P —AD —B 的平面角,
在
2227,4Rt PAG PG PA AG ∆=-=
中
在
3Rt ABG ∆⋅︒中,BG=AB sin60
2
2
2
734
21
44cos 2773
2PG BG PB PGB PG BG +-+-∴∠===-
⋅⋅⋅
法二:(1)取AD 中点为G ,因为,.PA PD PG AD =⊥
又,60,AB AD DAB ABD =∠=︒∆为等边三角形,因此,BG AD ⊥,从而AD ⊥平
面PBG 。
延长BG 到O 且使得PO ⊥OB ,又PO ⊂平面PBG ,PO ⊥AD ,,AD OB G ⋂= 所以PO ⊥平面ABCD 。
以O 为坐标原点,菱形的边长为单位长度,直线OB ,OP 分别为x 轴,z 轴,平行于
AD 的直线为y 轴,建立如图所示空间直角坐标系。
设11
(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).
22P m G n A n D n -则
3||||sin 602GB AB =︒=
333131(((,0),(,).2222n m B n C n E n F ∴+
+++
由于
33(0,1,0),(
,0,0),()22n m
AD DE FE ===+-
得0,0,,,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E ⋅=⋅=⊥⊥⋂=
AD ∴⊥平面DEF 。
(2)
13
(,,),()
22PA n m PB n m =--=+-
22221332,()2,1,42m n n m m n ++
=++===解之得
取平面ABD 的法向量1(0,0,1),
n =-
设平面PAD 的法向量
2(,,)
n a b c = 由
22330,0,0,0,2222b b PA n a c PD n a c ⋅=--=⋅=+-=得
由
取
23n =
123
212cos ,77
14n n ∴<>=
=-⋅
2、三垂线定理法
例四.(广东省惠州市2013届高三第三次调研理)(本小题满分14分)如图,在长方体
1111
ABCD A B C D -中,
11
AD AA ==,2AB =,点E 在棱AB 上移动.
(1)证明:
11D E A D
⊥;
(2)当E 点为AB 的中点时,求点E 到平面
1
ACD 的距离;
(3)AE 等于何值时,二面角1D EC D
--的大小为
4π
?
18.(本小题满分14分) (1)证明:如图,连接
1D B
,依题意有:在长方形
11
A ADD 中,
11
AD AA ==,
1111111111111A ADD A D AD A D AD B AB A ADD AB A D A D D E
D E AD B AD AB A ⇒
⊥⎫
⇒⊥⎫
⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭
四边形平面又平面平面.……… 4分
∴点E 到平面1
ACD 的距离为1
3. ………………………………………………… 8分 (3)解:过D 作DF EC ⊥交EC 于F ,连接1D F .由三垂线定理可知,1DFD ∠为二面
角
1D EC D
--的平面角.
∴
14DFD π
∠=
,
12D DF π
∠=
,111D D DF =⇒=. ……………………… 10分
1sin 26DF DCF DCF DC π∠=
=⇒∠=,∴3BCF π
∠=.…………………… 12分
∴
tan
33
BE
BE BC π
=
⇒=23AE AB BE =-=-.
故23AE =-时,二面角1D EC D
--的平面角为4π
.…………………………… 14分
练习. 如图,在四面体A BCD -中,2,2,1AB AD BD DC ====,且BD DC ⊥,二
面角A BD C --大小为60.
(1)求证:平面ABC ⊥平面BCD ;
(2)求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值.
17.解:(1)在四面体A BCD -中,取BD BC 、中点分别为 M N 、,连接MN ,则//MN DC BD DC ⊥,则MN BD ⊥ 又2AD AB ==
则AM BD ⊥
AMN ∴∠中,1
1,2
AM MN == 60AMN ∠=,
可知90ANM ∠=
又BD ⊥面AMN ,则BD AN ⊥
AN ∴和两相交直线BD 及MN 均垂直,从而AN ⊥面BDC
又面ABC 经过直线AN ,故面ABC ⊥面BCD …………………………(6分)
(2)由(1)可知平面ABC ⊥平面BDC
过D 向BC 作垂线于足H ,从而DH ⊥面ABC
过Rt BDC 中,2,1BD DC ==,则5
DH = 于是DC 与平面ABC 所成角即DCH ∠ 25
sin 5
DCH ∴∠=
= 因此直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值为25
5
.…………………………(12分)。