解析几何中的定值定点问题（一）一、定点问题【例1】．已知椭圆 C ：2 2x y2 2 1(a b 0)a b的离心率为32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x y 2 0 相切．⑴求椭圆 C 的方程；⑵设P(4, 0) ，M 、N 是椭圆 C 上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点 E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解：⑴由题意知 e ca32，所以 2e2 2 2c a b2 2a a34，即 2 4 2a b ，又因为2b 1，所以1 12 2a 4,b 1，故椭圆 C 的方程为 C ：2x42 1y ．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为y k(x 4) ①y k( x 4)联立 2x42y 1消去y 得： 2 2 2 2(4k 1)x 32k x 4(16k 1) 0 ，由 2 2 2 2(32k ) 4(4 k 1)(64 k 4) 0 得212k 1 0，又k 0 不合题意，所以直线PN 的斜率的取值范围是36k 0 或03k ．6⑶设点N (x1 , y1), E (x2 , y2 ) ，则M (x1 , y1) ，直线ME 的方程为y y2 1y y ( x x )2 2x x2 1，y (x x ) 令y 0 ，得 2 2 1x x2y y2 1 ，将y1 k( x1 4), y2 k(x2 4) 代入整理，得x2x x 4(x x )1 2 1 2x x1 28．②由得①2 232k 64k 4x x , x x1 2 2 1 2 24k 1 4k 1代入②整理，得x 1 ，所以直线ME 与x 轴相交于定点(1, 0) ．【针对性练习1】在直角坐标系xOy 中，点M 到点F1 3 , 0 ，F2 3 , 0 的距离之和是 4 ，点M 的轨迹是C 与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l : y kx b 与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹 C 的方程；⑵当AP AQ 0 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解：⑴∵点M 到 3 , 0 ， 3 , 0 的距离之和是4，∴M 的轨迹 C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为 2 3的椭圆，其方程为2x42 1y ．1yPO xQ⑵将y kx b ，代入曲线 C 的方程，整理得 2 2(1 4k )x 8 2kx 4 0 ，因为直线l 与曲线 C 交于不同的两点P 和Q ，所以 2 2 2 2 2 264k b 4(1 4k )(4 b 4) 16(4k b 1) 0 ①设P x1 , y1 ，Q x2 , y2 ，则x1 x28 2k1 42 k， 4x x1 2 21 4k②且 2 2y1 y2 (kx1 b)( kx2 b) (k x1x2) kb (x1 x2 ) b ，显然，曲线 C 与x 轴的负半轴交于点 A 2 , 0 ，所以A P x y ，AQ x2 2 , y2 ．由AP AQ 0，得(x1 2)( x2 2) y1 y2 0 ．1 2 , 1将②、③代入上式，整理得 2 212k 16 k b 5b 0．所以(2k b) (6k 5b) 0 ，即b 2k 或6b k ．经检验，5都符合条件①，当 b 2k 时，直线l 的方程为y kx 2k ．显然，此时直线l 经过定点 2 , 0 点．即直线l经过点A，与题意不符．当6b k 时，直线l 的方程为56 5y kx k k x ．5 6显然，此时直线l 经过定点65, 0 点，且不过点 A ．综上，k 与 b 的关系是：6b k ，且直线l 经过定点56 5 , 0点．2 y 2x【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆 1的左、右顶点为 A 、B，右焦点9 5 为F。
设过点T（t, m ）的直线TA、TB 与椭圆分别交于点M (x1, y ) 、1N(x2 ,y2 ) ，其中m>0, y1 0, y2 0。
2 PB 2（1）设动点P 满足 4PF ,求点P 的轨迹；（2）设1x1 2, x2 ，求点T 的坐标；3（3）设t 9 ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。
考查运算求解能力和探究问题的能力。
解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
2 PB2由 4PF ，得2 2 2 2(x 2) y [( x 3) y ] 4, 化简得9x 。
22故所求点P 的轨迹为直线9 x 。
2（2）将1x 分别代入椭圆方程，以及y1 0, y2 0得：M （2，1 2, x2353）、N（13，209）直线MTA 方程为：y0 x 35 2 33，即1y x 1，3直线NTB 方程为：y0 x 320 10 39 3，即5 5y x 。
6 2 x 7联立方程组，解得：y 10 3，所以点T 的坐标为10 (7, )3。
（3）点T 的坐标为(9, m)直线MTA 方程为：y 0 x 3m 0 9 3 m，即( 3)y x ，12直线NTB 方程为：y 0 x 3m 0 9 3m，即( 3)y x 。
62 y2x分别与椭圆 1联立方程组，同时考虑到9 5x1 3, x2 3，解得：M23(80 m ) 40m( , )2 280 m 80 m、N23(m 20) 20m( , )2 220 m 20 m。
（方法一）当x x 时，直线MN 方程为：1 2220m 3(m 20) y x2 220 m 20 m40 20 3(80 2) 3( 2 20)m m m m2 2 2 2 80 m 20 m 80 m 20 m令y 0，解得：x 1。
此时必过点D（1，0）；当x x 时，直线MN 方程为：x 1，与x 轴交点为D（1，0）。
1 2所以直线MN 必过x 轴上的一定点D（1，0）。
（方法二）若x x ，则由1 22 2240 3m 3m 602 280 m 20 m及m 0 ，得m 2 10 ，此时直线MN 的方程为x 1，过点D（1，0）。
40m若x x ，则m 2 10 ，直线MD 的斜率1 2 kMD2 10m80 m2 2240 3m 40 m1280 m，3直线N D 的斜率kND20m10m220 m2 23m 60 40 m1220 m，得k k ，所以直线M N 过D 点。
MD ND因此，直线M N 必过x轴上的点（1，0）。
【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为 2 ，短轴长为 2 3 ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y kx m k 0 与椭圆交于不同的两点M 、N （M 、N 不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点 A ．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为 b ，半焦距为c，则2c 2,2b 2 3,2 2 2a b c , 解得ab2,3,∴椭圆C的标准方程为2 2x y4 31．⋯⋯ 4 分（Ⅱ）由方程组2 2x y14 3y kx m消去y ，得2 2 23 4k x 8kmx 4m 12 0．⋯⋯ 6 分由题意△ 2 2 28km 4 3 4k 4m 12 0 ，整理得： 2 23 4k m 0 ①⋯⋯⋯7分设M x1, y1 、N x2 , y2 ，则8km x x1 2 23 4k ，24m 12x x1 2 23 4k．⋯⋯⋯8分由已知，AM AN ，且椭圆的右顶点为 A (2,0) ，∴x1 2 x2 2 y1y2 0 ．⋯⋯10 分即 2 21 k x x km2 x x m 4 0 ，1 2 1 2也即24m 12 8km2 21 k km2 m 4 02 23 4k 3 4k，整理得 2 27m 16mk 4k 0 ．解得m 2k 或2km ，均满足①⋯⋯⋯11 分7当m 2k 时，直线l的方程为y kx 2k ，过定点(2,0) ，不符合题意舍去；当2km 时，直线l的方程为72y k x ，过定点72( ,0)7，4二、定值问题【例2】．已知椭圆的中心在原点，焦点 F 在y 轴的非负半轴上，点 F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点 F 距离的最大值是 6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e；(Ⅱ)若F 为焦点 F 关于直线3y 的对称点，动点M 满足2MFMFe，问是否存在一个定点 A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点 A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得a4，a c 6，解得 a 4,c 2 .所以椭圆的标准方程为2 2y x16 121. 离心率 e2 14 2.(Ⅱ) F (0,2), F (0,1) ,设M (x, y), 由MFMFe得2 2x ( y 2) 12 2x ( y 1)2化简得 2 23x 3y 14y 15 0 ，即2 7 2 2 2 x （y ) ( )3 3故存在一个定点7A(0, ) ，使M 到A 点的距离为定值，其定值为323.【例3】．已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，P(2，0)为定点．(Ⅰ)若点P 为抛物线的焦点，求抛物线 C 的方程；(Ⅱ)若动圆M 过点P，且圆心M 在抛物线 C 上运动，点 A 、B 是圆M 与y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．解：(Ⅰ) 设抛物线方程为p2 2 ( 0)y px p ，则抛物线的焦点坐标为( ,0)2p.由已知， 22，即p 4 ，故抛物线 C 的方程是 2 8y x．(Ⅱ)设圆心M (a,b) ( a 0 )，点 A (0, y1) ，B (0, y2) . 因为圆M 过点P(2，0)，则可设圆M 的方程为2 2 2 2(x a) ( y b) (a 2) b . 令x 0 ，得 2 2 4 4 0y b y a .则y1 y2 2b，y1 y2 4a 4.所以 2 2 2| AB | (y y ) (y y ) 4y y 4b 16a 16 . ，设抛物线 C 的方程为1 2 1 2 1 22 ( 0)y mx m ，因为圆心M 在抛物线 C 上，则2b ma . 所以| AB| 4ma 16a 16 4a(m 4) 16 . 由此可得，当m 4 时，| AB | 4 为定值．故存在一条抛物线 2 4y x，使|AB| 为定值 4.5解析几何中的定值定点问题（二）1、已知椭圆C 的离心率 e32，长轴的左右端点分别为A1 2 , 0 ，A 2 2 , 0 。