北京市西城区2015 年高三二模试卷
数学（理科）2015.5
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分．考试时
长120 分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷
和答题纸一并交回．
1．设集合，集合，则A B ＝（）
A．（－1‚ 3）B．（1‚ 3］C．［1‚ 3）D．（－1‚ 3］
2．已知平面向量，则
实数k ＝（）
A．4 B．－4 C．8 D．－8
3．设命题p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则下列命题中真命题是（）
4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（）
A． {1‚ 2}B．{1‚ 3}C．{2 ‚ 3}D．{1‚ 3‚ 9}
5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x
满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为
（）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（）A．B．21 C．42D．84
7．若“ x ＞1 ”是“不等式成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a ＞3 B．a ＜3 C．a ＞4 D．a ＜4
8．在长方体，点M 为AB1 的中点，点P 为对
角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P ，Q可以重合），则MP＋PQ 的最
小值为（）
第Ⅱ卷（非选择题共110 分）
二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．复数＝＿＿＿＿
10．双曲线C ：的离心率为；渐近线的方程为．
11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cosα＝；cos 2α＝．12．如图，P 为O 外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC 与O 相交于点B 、C ，
且PC ＝2P A ，D 为线段PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E ．若PB ＝3
4
，则
P A ＝；AD·DE ＝．
13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有
种．（用数字作答）
14．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺
时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记，OP 所经过的在正方
形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S ＝ f （x），那么对于函数f （x）有以下三个结论：
①；
②任意，都有
③任意
其中所有正确结论的序号是．
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
15．（本小题满分13 分）
在锐角△ABC 中，角A，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，已知a ＝7，b ＝3，
．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求△ABC 的面积．
16．（本小题满分13 分）
某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这
10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名
为该型号电视机的“星级卖场”．
（Ⅰ）当a ＝ b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；
（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”
的个数，求X 的分布列和数学期望．
（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达
到最小值．（只需写出结论）
17．（本小题满分14 分）
如图1，在边长为4 的菱形ABCD中，于点E ，将△ADE沿DE 折起到的位置，使，如图2．
⑴求证：平面BCDE ；
⑵求二面角的余弦值；
⑶判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18．（本小题满分13 分）
已知函数，其中a R ．
⑴当时，求f (x)的单调区间；
⑵当a＞0时，证明：存在实数m ＞0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立．19．（本小题满分14 分）
设分别为椭圆E：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，
点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB｜＝2．
⑴若椭圆E 的离心率为，求椭圆E 的方程；
⑵设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为
直径的圆经过点F1，证明：
20．（本小题满分13 分）
无穷数列P ：，满足，对于数列P ，记
，其中表示集合中最小的数．（Ⅰ）若数列P :1‚ 3‚ 4 ‚ 7 ‚ …，写出；
（Ⅱ）若，求数列P 前n项的和；
（Ⅲ）已知＝46，求的值．
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