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线性代数同济大学第五版课件4-5


是一个向量空间. 因为若 x1 =1a +1b, 则有 x2 =2a +2b ,
x1 + x2 = (1+2)a + ( 1 + 2 )b L, kx1 = (k1)a + (k1)b L .
这个向量空间称为由向量 a , b 所生成的向量空间.
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一般地, 由向量组 a1 , a2 , · , am 所生成的向量 · ·
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三、向量的坐标
定义 8 如果在向量空间 V 中取定一个基
a1 , a2 , · , ar , 那么 V 中任一向量 x 可唯一地表 · · 示为 x = 1a1 + 2a2 + · + rar , · · 数组 1 , 2 , · , r 称为向量 x 在基 a1 , a2 , · , ar · · · · 中的坐标.
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二、向量空间的基与维数
定义 设有向量空间 V1 及V2 , 若 V1 V2,
就称 V1 是 V2 的子空间. 例如任何由 n 维向量所组成的向量空间 V, 总有 V Rn , 所以这样的向量空间总是 Rn 的子
空间.
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定义 7 设 V 为向量空间, 如果 r 个向量
a1 , a2 , · , ar V , 且满足 · ·
L2={ x= 1b1 + 2b2 + · + sbs | 1, · , s R }, · · · ·
试证 L1 = L2 .
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证明 设 x L1 , 则 x 可由 a1 , · , am 线性表示. · ·
因 a1 , · , am 可由 b1 , · , bs 线性表示, · · · · 故 x 可由 b1 , · , bs 线性表示, 所以 x L2 . · · 因此 L1 L2 . 类似地可证, L2 L1 . 因为 L1 L2 , L2 L1 , 所以 L1 = L2 .
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例 20
齐次线性方程组的解集 S = { x | Ax = 0 }
因为由齐次线性方程组的解的性质1、2, 即知其解集 S 对向量的线性运算封闭. S是一个向量空间, 称为齐次线性方程组的解空间.
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例 22
集合
设 a , b 为两个已知的 n 维向量, L = { x = a + b | , R }
即基变换公式为
(b1 , b2 , b3) = (a1 , a2 , a3)P ,
其中表示式的系数矩阵 P = A-1B 称为从旧基到
新基的过渡矩阵. 设向量 x 在旧基和新基中的坐标分别为 y1 , y2 , y3 和 z1 , z2 , z3 ,即
y1 z1 x ( a1 , a2 , a3 ) y2 , x (b1 , b2 , b3 ) z 2 , y z 3 3
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例 18 集合
V = { x = (0, x2 , · , xn)T | x2 , · , xn R } · · · · 若 a = ( 0 , a2 , · , an )T V, · ·
b = ( 0 , b2 , · , bn )T V , 则 · · a + b = ( 0 , a2 + b2 , · , an + bn)T V , · ·
空间为 L={x=1a1 + 2a2 + · + mam | 1, 2 , · , m R }. · · · ·
例 23 设向量组 a1 , · , am与向量组 b1, · , bs · · · ·
等价, 记
L1={ x= 1a1 + 2a2 + · + mam | 1, · , m R }, · · · ·
(i) a1 , a2 , · , ar 线性无关; · ·
(ii) V中任一向量都可由 a1 , a2 , · , ar 线性 · ·
表示.
那么,向量组 a1 , a2 , · , ar 就称为向量空间 · · V 的一个基, r 称为向量空间 V 的维数,并称 V 为 r 维向量空间.
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例如:
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特别地,在 n 维向量空间 Rn 中取单位坐标 向量组 e1 , e2 , · , en 为基,则以 x1 , x2 , · , xn 为 · · · · 分量的向量 x ,可表示为 x = x1e1 + x2e2 + · + xnen , · ·
可见向量在基 e1 , e2 , · , en 中的坐标就是该向 · ·
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y1 z1 z1 y1 1 故 A y2 B z 2 , 得 z 2 B A y2 , 即 y z z y 3 3 3 3 z1 y1 1 z2 P y2 . z y 3 3
a = ( 0 , a 2 , · , a n ) T V . · ·
V是一个向量空间.
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例 19
集合
V = { x = (1 , x2 , · , xn )T | x2 , · , xn R } · · · · 若 a = (1 , a2 , · , an )T V , 则 · · 2a = (2 , 2a2 , · , 2an )T V. · · V不是向量空间.
B 变为 X = A-1B.
2 1 1 4 2 ( A | B) 2 1 2 0 3 1 2 2 4 2
1 0 0 初等行变换 0 1 0 0 0 1
4 / 3 2/3 1 . 1 2 / 3 2/3
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因为 A ~ E,所以 a1 , a2 , a3 为 R3 的一个基,且
验证 a1 , a2 , a3 是 R3 的一个基, 并求 b1 , b2 在这 个基下的坐标.
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解 要证 a1 , a2 , a3 是 R3 的一个基, 只要证
a1 , a2 , a3 线性无关, 即只要证 A ~ E . 设 b1 = x11a1 + x21a2 + x31a3 , b2 = x12a1 + x22a2 + x32a3 ,
x11 (b1,b2 ) ( a1,a 2 ,a3 ) x21 x 31
记作 B = AX .
x12 x22 , x32
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对矩阵( A , B ) 施行初等行变换, 若 A 能变为
E, 则 a1 , a2 , a3 为 R3 的一个基, 且当 A 变为 E 时,
由向量组 a1 , a2 , · , am 所生成的向量空间 · · L ={ x = 1a1 + 2a2 + · + mam | 1, · , m R }, · · · · 显然向量空间 L 与向量组 a1 , a2 , · , am 等价, · · 所以向量组 a1 , a2 , · , am 的最大无关组就是L 的 · · 一个基, 向量组 a1 , a2 , · , am 的秩就是 L 的维数. · ·
· · 量的分量. 因此,e1 , e2 , · , en 叫做 Rn 中的
自然基.
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例 24 设
1 4 2 2 1 A (a1,a2 ,a3 ) 2 1 2 , B (b1,b2 ) 0 3 , 1 2 2 4 2
2 1
4 / 3 1 . 2 / 3
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例 25 在 R3 中取定一个基 a1 , a2 , a3 ,再
取一个新基 b1 , b2 , b3 ,设 A = (a1 , a2 , a3) , B = (b1 , b2 , b3) . 求用 a1 , a2 , a3 表示 b1 , b2 , b3 的表示式(基变换公式),并求向量在两个基中
的坐标之间的关系式(坐标变换公式) .
解 (a1 , a2 , a3) = (e1 , e2 , e3)A,
(e1 , e2 , e3) = (a1 , a2 , a3)A-1, 故 (b1 , b2 , b3) = (e1 , e2 , e3)B = (a1 , a2 , a3)A-1B ,
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这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式.
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第五节
主要内容
向 量 空 间
向量空间的定义 向量空间的基与维数
向量的坐标
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一、向量空间的定义
定义 6 设 V 为 n 维向量的集合,如果集合 V
非空, 且集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭, 那 那么就称集合 V 为向量空间. 所谓封闭, 是指在集合 V 中可以进行加法及 数乘两种运算. 具体地说, 若 a V, b V, 则 a + b V; 若 a V, R, 则 a V.
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