∴自相关函数为： R X (τ ) =
8 − 3τ 4 − 2τ ⋅e − ⋅e 15 5
平均功率为： P = RX (0) = RX (τ )
⎡ 4 −2 τ = ⎢ ⋅e − ⋅e 15 ⎣5
三，物理功率谱密度：τ =0 Βιβλιοθήκη −3 τ ⎤⎥ ⎦τ = 0
4 8 4 = − = 5 15 15
由于实际应用中，负频率不存在，所以定义一个仅在正频率上存在 的物理功率谱密度：
既：GX (0) → ∞，GY (ω 0 ) → ∞
可以借助 δ 函数，将直流信号与周期信号在各个频率点上的无限值 δ 函数的傅氏变换 用一个δ 函数来表示，借助 ⎧
⎪ 1 ⇔ 2πδ (ω ) ⎪ ⎪ ⎨ cos(ω 0τ ) ⇔ π [δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 )] ⎪ π ⎪sin(ω 0τ ) ⇔ [δ (ω − ω 0 ) − δ (ω + ω 0 )] j ⎪ ⎩
FX (ω )
GX (ω )
⎧ 2GX (ω ),ω ≥ 0 FX (ω ) = ⎨ ⎩............0,ω < 0
1 RX (τ ) = 2π
∫
∞
0
FX (ω )e jωτ d ω
1 P= 2π
1 ∫－∞ GX (ω)dω = 2π
∞
∫
∞
0
1 2GX (ω )dω = 2π
∫
∞
0
FX (ω )dω
⎧ G (ω ) = ∞ R (τ )e − jωτ dτ = F [ R (τ ) ] X X ∫ −∞ X ⎪ 有： ⎨ 1 ∞ −1 jωτ ⎪ RX (τ ) = ω ω G ( ) e d F = [GX (ω )] X ∫ −∞ 2π ⎩
因为X(t) 平稳 ∴ R X (τ )，G X (ω )是偶函数。
∴ ∫ R X (τ )dτ = ∫ C 2 dτ → ∞
−∞ −∞
∞
∞
a2 Q Y (t ) = a cos(ω 0 t + θ ), RY (τ ) = cos ω 0τ 2 2 ∞ ∞ a ∴ ∫ RY (τ )dτ = ∫ cos ω 0τdτ → ∞ −∞ −∞ 2
Q R X (τ ), RY (τ ) 不满足绝对可积的条件，∴F变换不存在。
可利用δ 函数的F变换，来求⑴ ⑵两特殊信号的功率谱密度。
R X (τ ) = 1
G X (ω ) = 2πδ (ω )
0 τ RY (τ ) = cosω 0τ
ω GY (ω) = π[δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )]
0
0
τ
−ω0
ω0
ω
) 例1 随相余弦过程 X (t ) = A cos(ω 0 t + Φ，其中 A、Φ 为常数， Φ 在 (0, 2π )上均匀分布，求X(t)的功率谱密度。
傅氏变换绝对可积的条件限制了维纳—辛钦定理的应用。
X (t ) = C ⎫ 在频域： ⑴直流信号X(t) 两者 ⑵周期信号X(t) Y (t ) = a cos(ω 0 t + θ )⎬ ⎭
⎧ω =0 仅在⎨ 频率上存在功率。 ⎩ω = ω 0
平均功率 频率点上功率 = /0 则其功率谱密度 = = →∞ 单位频带 0带宽
解：据以往结果， R (τ ) = ( A2 ) cos(ω τ ) 0 X
2
←求傅氏变换
A A GX (ω ) = ⋅ F[cos(ω0τ )] = ⋅ π [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )] 2 2
16 例2 已知平稳过程X(t) 具有功率谱密度： GX (ω) = 4 2 ω + 13 ω + 36 求其自相关函数，平均功率。
自功率谱密度函数和自相关函数 的关系
一、维纳—辛钦定理
对于一般随机过程X(t)： G X (ω ) =
∫
∞
−∞
R X (t , t + τ )e − jωτ dτ
若 X(t)是平稳过程 则有：Q R X (t , t + τ ) = R X (τ )
∴ R X (t , t + τ ) = R X (τ ) = R X (τ )
⎧ G (ω ) = 2 ∞ R (τ ) cos ωτ dτ X X ∫ ⎪ 0 则有： ⎨ 1 ∞ ⎪ R X (τ ) = ∫0 G X (ω ) cos ωτdω π ⎩
二、维纳—辛钦定理的推广
⑴直流信号 ⑵周期信号
X (t ) = C Y (t ) = a cos(ω 0 t + θ）
2 2 在时域： Q X (t ) = C , R X (τ ) = E[ X (t ) X (t + τ )] = E[C ] = C
2
2
16 解：利用部分分式法 G X (ω ) = (ω 2 + 4)(ω 2 + 9) 16 16 4 4 8 6 5 5 = 2 − 2 = ⋅ 2 − ⋅ 2 ω + 4 ω + 9 5 ω + 4 15 ω + 9
⎡ −α τ ⎤ 利用傅氏变换对 ⎢ 2 2α 2 ⇔ e ⎥ + α ω ⎣ ⎦