第九章 功率谱密度 张华，031120517 介绍● 确定信号的光谱分析：自相关——窗口式傅立叶变换 ● 平稳随机信号的光谱分析:方差——信号模型● 附加白噪声的正弦估计：消除干扰——eigen 分析9.1基于DFT 的光谱分析能量谱及相关特性：维纳-辛钦理论∑∞-∞=-=m fmj xx xx e m r m P π2)()( ● 离散傅立叶变换：理论的使用范围和频域取样；窗口技术——转化结果的泄露和丢失 ● 时间/频率转换：不确定原则NFs NT T f ==∆=∆11 ● 零填充和有用的窗函数维纳-辛钦理论)]()([)()()()()()(2*22k m x m x E m r e m rf X f X em x f X xx m mf j xxm mfj +====∑∑∞-∞=-∞-∞=-ππ9.1.1自相关估计● 平稳随机信号的光谱估计:1,1,0,)()(1)(1-=+-=∑--=∧N m m k x k x m N m r m N k xx● Down_weight 估计:∑--=∧+=⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=1)()(1011)(m N k xx m k x k x Nm r N m Nm m w ）（其他)(m r xx ∧的均值和方差:均值:)()1()]()([1)]([1m rN mm k x k x E Nm r E xxm N k xx -=+=∑--=∧方差:∑∞-∞=∧+-+=k xx xx xx xx m k r m k r k r N m r Var )]()()([1)]([29.1.2周期图法: 无参数的PSD 估计周期图:2212)(1)(1)(f X Nem x Nf P N m mfj xx ==∑-=-∧π均值: ∑---=-∧-==1)1(22)()1(])([1)]([N N m mf j xx xx e m r N m f X E N f P E π∑∞-∞=-∧∞→=m mf j xxxx N e m rf P E Lim π2)()([方差:])2sin 2sin (1)[()([22fN fN f Pf P Var xxxx ππ+=∧9.1.3平均周期图法● 巴特利特方法 ● 韦尔奇方法 ● BT 方法● 多个重叠数据段方法巴特利特方法：多个不重叠数据段周期图的平均∑==k i i xx B xxf P k f P 1)()(1)(● 均值: ∑⎰=---==k i xx i xx Bxxdv v f N v f v P Nf E k f P E 12/12/12)(])(sin )(sin )[(1)]([1)]([ππ● 方差: ])2sin 2sin (1)[(1)]([22fN fN f P k f P Var xx Bxx ππ+= 韦尔奇方法：● 均值: ∑⎰=---==k i xx i xx Bxxdv v f N v f v P Nf E k f P E 12/12/12)(])(sin )(sin )[(1)]([1)]([ππ● 方差: ])2sin 2sin (1)[(1)]([22fN fN f P k f P Var xx Bxx ππ+=BT 方法: 窗函数的光谱估计∑---=-=1)1(2)()()(N N m mf j xxBTxxe m rm w f P π● 均值∑⎰---=---==1)1(2/12/12)()()()()]([N N m c xxfmj c xx BT xxdv v f W v Pem w m r f P E π● 方差)()]([2f P NU f P Var xx BTxx =多个重叠数据段方法：窗函数的自相关估计11,0,)()(1)(122,1;121,0),()(1-=+=-=-=+=∑-=N m m k x k x N m r N i N m iD m x m x N k i i xx i附录：估计量的特性● 估计量的偏差：ϑϑϑ-=∧∆∧][][E B● 估计量的方差：})({)(22∧∧∆∧-==∧ϑϑδϑϑE E Var● 均方误差： }{)(222∧∧∆∧-=+=∧ϑϑδϑϑE B MSE● 估计值的一致性： ∞→∧∧N Var B ),(][ϑϑ9.2模型谱估计● 由一个随机平坦的噪声驱动的线性时不变系统 ● 最大熵谱分析 ● 自回归谱估计 ● 滑动平均谱估计● 自回归滑动平均谱估计9.2.1基于谱分析的线性模型：在ARMA 系统中，输入输出的关系：∑∑==-+-=pk qk k kk m w b k m x am x 1)()()(系统函数：∑∑==---==pk k qk k k m x a k m w b z A z B z H 1)(1)()()()(、谱估计是PW 和PH 的乘积：2)()()(f H f P f P ww xx =在平滑系统中22)()(f H f P w xx δ=9.2.2最大熵谱分析（由Porat 提出）零均值的正态随机过程)exp(det 1)(1X R X Rx P T M--=π 熵：M R M X P E x H ++=-=∆)log(det log )}({log )(π∑∏∏-==-=---+++=-===11212101)1log()()0(log log )(1()0(,det ,}{M m m mj m M m m Tr m M r M M M X H rr R M X R X E πζζ最大熵谱分析（由伯格提出）概率和熵： ∑∞-∞=-=m mfj xx xx e m r f P π2)()]([ ⎰-=2/12/1)()]([df f InPf P H XXxx最大熵：0)()()()]([2/12/1=∂∂=∂∂⎰m r df f InP m r f P H xx xx mm xx⇒=∂∂-fm j mm xx e m r f P π2)()(fm j xx mm xx e f P m r f InP π21)()()(--=∂∂最大熵谱估计——自回归模型中的能量谱0)(2/12/121=⎰---df e f P mfj xx π,∑-=--=PRm mfj xx em c f P π21)()(∑-=-∧=ppm mfj MExx em c f P π2)(1)()()()(1)(,)()(1)(121112-∧---=--=++==∑z A z A f P z a z a z A z A z A z m c MExx pp ppm m δδ9.2.3自回归谱估计(AR)AR 模型：∑=+-=pk km e k m x am x 1)()()(功率谱： ∑=-∧-=pk mfj k e MExx e a f P 1221)(πδ自相关函数:∑∑===-=-+--=-pk xx k xx pk k j k j r a j r j m x m e E j m x k m x E a j m x m x E 112,1),()()]()([)]()([)()([阶数选择标准：最低阶数和最高阶数● FPE 标准：2)(P PN P N P FPE ∧-+=δ ● AIC 标准：P N P AIC P 2log )(2+=∧δ ● MDL 标准：N P N P MDL P log log )(2+=∧δ● CAT 标准：∑=∧∧---=Pk PPN P N N K N NP CAT 1221)(δδ有噪声的信号的AR 功率谱密度：)1()()1()()1()()()()()(**222*2z A z A zA z A z A z A z P n v n x n y e e v eyy δδδδ+=+=+= 9.2.4滑动平均谱估计(MA)MA 模型：∑=-=Qk k k m e b m x 0)()(互相关性：m e Qk k xe b m j e k j e b E m j e j x E m r 20)]()([)]()([)(δ=--=-=∑= 功率谱： ∑∑∑∑-=-=-+==-∧==Q Qm mQ k m k km eQt ttQk k keMAxx z b bzb z b z P 0202][)(δδ自相关函数:∑∑-=-∧∧=+∧=⎪⎩⎪⎨⎧>≤=Q Qm mfj xxMAxx mQ k m k k e xx e m rP Q m Q m b b m r πδ2_02)(0)(9.2.5自回归滑动平均谱估计(ARMA)ARMA 模型：∑∑==-+--=pk Qk xw k xx kxx k j r b k j x aj x 1)()()(AR 部分:∑=>--=pk xx k xx Q m k m x a m x 1),()(剩余部分: ∑=∧-≤≤-+=p k kN n P k n x an x n e 11),()()(MA 部分： ∑-∧∧=fm j eeMEEE e m rf P π2)()(ARMA 功率谱密度: 2)()()(f A f R f P MAe ARMExx∧=9.2.6建模过程1. 根据数据确定AR 模型2. 计算误差: ∑=∧-≤≤-+=p k kN n P k n x an x n e 11),()()(3. MA 部分: ∑-∧∧=fm j eeMEEE e m rf P π2)()(4. ARMA 功率谱密度: 2)()()(f A f R f P MAe ARMExx∧=。