2、矩阵转置、共轭转置运算
A’
矩阵共轭转置
A.’
矩阵转置
转置的运算级别比加、减、乘、除等运算高
对称矩阵：一个矩阵与其转置矩阵相等
isequal(A,A.’) == 1
反对称矩阵：一个矩阵与其转置矩阵的和为零矩阵
isequal(-A,A.’) == 1
3、矩阵加法
定义 设有两个m×n矩阵
a11 a12
, x2
D2 D
,
xn
Dn D
(2)
其中Dj (j=1,2,…,n) 是把系数行列式D中第j列的元素 换成方程组的常数项b1,b2,…,bn所构成的n级行列式, 即：
a11
Dj
a21
a1, j1 a2, j1
an1 an, j1
b1 a1, j1 b2 a2, j1 bn an, j1
a1n a2n ann
乘积构成，除符号外可写为 a a a 1 j1 2 j2 3 j3
(ii)符号为 (1) ( j1 j2 j3 ) “+” 123 231 312 （偶排列）
(iii)项数为 3！=6
“-” 321 213 132 （奇排列）
定义： n阶行列式
a11 a12 a1n
记
D a21 a22 a2n
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
(1) a a a ( j1 j2 j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的
(1) (
j1 j2
a a jn ) 1 j1 2 j2
anjn
Det(aij
)
an1 an2 ann
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a a 1 j1 2 j2 anjn 并冠以符号 (1) ( j1 j2 jn ) 的项的和。
(i) a1 j1 a2 j2 L anjn 是取自不同行、不同列的n个元素的乘积；
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
b11 b12
B
b21
b22
bm1 bm 2
b1n
b2n
bmn
若 aij bij (i 1,2, , m; j 1,2, , n)
则称矩阵A和B相等. 记作A=B
Matlab中，矩阵相等可用函数 isequal(A,B) 来判断
(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 ( j1 j2 jn )
决定每一项的符号；
(iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
Matlab中，行列式由函数 det() 实现
练习：求下面的行列式，n为输入参数
1 2 2L 2 2 2 2L 2 2 2 3L 2 MMM M M 2 2 2L n
称为维(型)是m n的矩阵(matrix),简称为m n矩阵.
记为
A (aij )mn , Amn 或 A (aij ),
其 中aij为 矩 阵 的 第i行 第j列 元 素.
i称为行标i 1,2, , m，j称为列标j 1,2, , n.
1、矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11 a12
amn bmn
称为矩阵A与B的和. 记作
C AB
aij
bij
.
mn
Matlab中，矩阵的加法就是 A + B
4、矩阵减法
a11
设A
aij
,A
mn
aij
a21
mn M
am1
a12 L a22 L
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a 21 x1 a 22 x2
a2n xn
b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 L
的系数行列式 D a21 a22 L
MM an1 an2 L
a1n
a2n 0, 则方程组有惟一解
M ann
x1
D1 D
A
a21
a22
am1 am2
11 b12
B
b21
b22
bm1 bm2
b1n
b2n
bmn
a11 b11
a12 b12
矩阵 C
a21
b21
a22 b22
am1 bm1 am 2 bm 2
a1n b1n
a2n
b2n
用克莱姆法则解方程组
2x1 2x2
6x4 2
32xx11
x2 x2
2x3 4x3
4x4 4x4
2 3
x1 x2 x3 8x4 2
二、矩阵运算
由m n个数aij构成的m行n列数表
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1 am2 amn
奇(偶)排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶），称 它为奇（偶）排列.
高等教育出版社 同济大学数学教研室 编《工程数学——线性代数》（第三版）P7
练习：编写一个M函数求排列的逆序数： 输入：一个排列，如 k = [3 2 1 4 5] 输出：排列的逆序数 t = 5
克莱姆法则
克莱姆法则：如果n元线性方程组
Matlab在线性代数中的应用
一、行列式 二、矩阵运算 三、矩阵初等变换 四、求解线性方程组
Matlab的最初设计目的就是为程序员或科研人员编写专业 化的数值线性代数程序提供一个简单实用的接口。在Matlab的 命令提示符下运行help matfun命令可以查看Matlab提供的所有 与线性代数相关的函数。
3、排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in 称为一个n级排列. （总数为 n!个） 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：
123 132 213 231 312 321 4、 排列的逆序数
在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前后位置与大小
顺逆序序相的反 总数,即,i称s>为it(t它>s的),则逆称序这数两，数记构为成(一i1i2个…逆in)序。。排列中
一、行列式
1、二阶行列式
a11 a12 a21 a22
a11a22 a12a21
2、三阶行列式
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11 a12 a13