Matlab线性代数实验指导书理学院线性代数课程组二零零七年十月目录一、基础知识 (1)1.1、常见数学函数 (1)1.2、系统在线帮助 (1)1.3、常量与变量 (2)1.4、数组（矩阵）的点运算 (3)1.5、矩阵的运算 (3)二、编程 (4)2.1、无条件循环 (4)2.2、条件循环 (5)2.3、分支结构 (5)2.4、建立M文件 (6)2.5、建立函数文件 (6)三、矩阵及其运算 (7)3.1、矩阵的创建 (7)3.2、符号矩阵的运算 (11)四、秩与线性相关性 (14)4.1、矩阵和向量组的秩以及向量组的线性相关性 (14)4.2、向量组的最大无关组 (14)五、线性方程的组的求解 (16)5.1、求线性方程组的唯一解或特解（第一类问题） (16)5.2、求线性齐次方程组的通解 (18)5.3、求非齐次线性方程组的通解 (19)六、特征值与二次型 (22)6.1、方阵的特征值特征向量 (22)6.2、正交矩阵及二次型 (23)一、基础知识1.1常见数学函数函数数学计算功能函数数学计算功能abs(x) 实数的绝对值或复数的幅值floor(x) 对x朝-∞方向取整acos(x) 反余弦arcsinx gcd(m,n)求正整数m和n的最大公约数acosh(x) 反双曲余弦arccoshx imag(x) 求复数x的虚部angle(x) 在四象限内求复数x的相角lcm(m,n)求正整数m和n的最小公倍自然对数(以e为底数) asin(x) 反正弦arcsinx log(x)常用对数(以 10 为底数) asinh(x) 反双曲正弦arcsinhx log10(x)atan(x) 反正切arctanx real(x) 求复数 x 的实部atan2(x,y) 在四象限内求反正切rem(m,n) 求正整数m和n的m/n之余数atanh(x) 反双曲正切arctanhx round(x)对x四舍五入到最接近的整数符号函数：求出 x 的符号ceil(x) 对x朝+∞方向取整 sign(x)conj(x) 求复数x的共轭复数 sin(x) 正弦sinx反双曲正弦sinhx cos(x) 余弦cosx sinh(x)cosh(x) 双曲余弦coshx sqrt(x) 求实数x的平方根exp(x) 指数函数e x tan(x) 正切tanxfix(x) 对 x 朝原点方向取整 tanh(x) 双曲正切tanhx如：输入 x=[-4.85 -2.3 -0.2 1.3 4.56 6.75]，则：ceil(x)= -4 -2 0 2 5 7fix(x) = -4 -2 0 1 4 6floor(x) =-5 -3 -1 1 4 6round(x) = -5 -2 0 1 5 71.2 系统的在线帮助1.2.1 help 命令：1.当不知系统有何帮助内容时，可直接输入 help以寻求帮助:>> help(回车)2.当想了解某一主题的内容时，如输入：>> help syntax (了解Matlab的语法规定)3.当想了解某一具体的函数或命令的帮助信息时，如输入：>> help sqrt (了解函数sqrt的相关信息)1.2.2 lookfor 命令现需要完成某一具体操作，不知有何命令或函数可以完成，如输入：>> lookfor line (查找与直线、线性问题有关的函数)1.3 常量与变量系统的变量命名规则：变量名区分字母大小写；变量名必须以字母打头，其后可以是任意字母，数字，或下划线的组合。

此外，系统内部预先定义了几个有特殊意义和用途的变量，见下表：特殊的变量、常量取值ans 用于结果的缺省变量名pi 圆周率π的近似值(3.1416)eps 数学中无穷小(epsilon)的近似值(2.2204e - 016)inf 无穷大，如1/0 = inf (infinity)NaN 非数，如0/0 = NaN(Not a Number)，inf / inf = NaNi，j 虚数单位：i=j=-11.3.1 数值型向量(矩阵)的输入1．任何矩阵(向量)，可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号(，)或者用空格符来分隔；行与行之间用分号(；)分隔。

所有元素处于一方括号([ ])内；例1：>> Time =[11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]>> X_Data = [2.32 3.43；4.37 5.98]2．系统中提供了多个命令用于输入特殊的矩阵：函数功能函数功能compan 伴随阵 toeplitz Toeplitz矩阵Vandermonde矩阵diag 对角阵 vanderhadamard Hadamard矩阵 zeros 元素全为0的矩阵hankel Hankel矩阵 ones元素全为1的矩阵元素服从均匀分布的随机矩阵invhilb Hilbert矩阵的逆阵 randkron Kronercker张量积 randn元素服从正态分布的随机矩阵对角线上元素为1的矩阵magic 魔方矩阵 eye由两个向量生成的矩阵pascal Pascal矩阵 meshgrid上面函数的具体用法，可以用帮助命令 help 得到。

如：meshgrid(x,y)输入x=[1 2 3 4]; y=[1 0 5]; [X,Y]=meshgrid(x, y)，则X = Y =1 2 3 4 1 1 1 11 2 3 4 0 0 0 01 2 3 4 5 5 5 5目的是将原始数据x，y转化为矩阵数据X，Y。

1.3.2 符号向量(矩阵)的输入1．用函数 sym定义符号矩阵：函数 sym实际是在定义一个符号表达式，这时的符号矩阵中的元素可以是任何的符号或者是表达式，而且长度没有限制。

只需将方括号置于单引号中。

例2：>> sym_matrix = sym('[a b c；Jack Help_Me NO_WAY]')sym_matrix =[ a, b, c][Jack, Help_Me, NO_WAY]2．用函数 syms 定义符号矩阵先定义矩阵中的每一个元素为一个符号变量，而后像普通矩阵一样输入符号矩阵。

例3：>> syms a b c ；>> M1 = sym('Classical')；>> M2 = sym(' Jazz')；>> M3 = sym('Blues')；>> A = [a b c； M1， M2， M3；sym([2 3 5])]A =[ a, b, c][Classical, Jazz, Blues][ 2, 3, 5]1.4 数组(矩阵)的点运算运算符：+(加)、-(减)、./(右除)、.\(左除)、.^(乘方)，例4：>> g = [1 2 3 4]；h = [4 3 2 1]；>> s1 =g + h, s2 =g.*h, s3 =g.^h, s4 =g.^2, s5 =2.^h1.5 矩阵的运算运算符：+(加)、-(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)、’(转置)等；常用函数：det(行列式)、inv(逆矩阵)、rank(秩)、eig(特征值、特征向量)、rref(化矩阵为行最简形) 例5：>> A=[2 0 –1;1 3 2]; B=[1 7 –1;4 2 3;2 0 1];>> M = A*B % 矩阵A与B按矩阵运算相乘>> det_B = det(B) % 矩阵A的行列式>> rank_A = rank(A) % 矩阵A的秩>> inv_B = inv(B) % 矩阵B的逆矩阵>> [V,D] = eig(B) % 矩阵B的特征值矩阵V与特征向量构成的矩阵D >> X = A/B % A/B = A*B-1，即XB=A，求X>> Y = B\A % B\A = B-1*A，即BY=A，求Y上机练习(一)：1．练习数据和符号的输入方式，将前面的命令在命令窗口中执行通过；2．输入A=[7 1 5；2 5 6；3 1 5]，B=[1 1 1; 2 2 2; 3 3 3]，在命令窗口中执行下列表达式，掌握其含义：A(2, 3) A(:,2) A(3,:) A(:,1:2:3) A(:,3).*B(:,2)A(:,3)*B(2,:) A*B A.*B A^2 A.^2 B/A B./A3．输入 C=1:2:20，则C(i)表示什么？其中 i=1,2,3, (10)4．查找已创建变量的信息，删除无用的变量；5．欲通过系统做一平面图，请查找相关的命令与函数，获取函数的帮助信息。

二、编程2.1 无条件循环当需要无条件重复执行某些命令时，可以使用 for循环：for 循环变量 t=表达式1: 达式2: 表达式3语句体end说明：表达式 1 为循环初值，表达式 2 为步长，表达式3为循环终值；当表达式 2 省略时则默认步长为1；for 语句允许嵌套。

例6：生成 3×4 阶的 Hiltber矩阵。

for i=1 : 3for j=1 : 4H(i,j)=1/(i+j-1);endend 如：矩阵输入程序m=input(‘矩阵行数：m=’);n= input(‘矩阵列数：n=’);for i=1:mfor j=1:ndisp([‘输入第’,num2str(i),’行，第’, num2str(j),’列元素’]) A(i, j) = input (‘ ’)endend2.2 条件循环1) if-else-then 语句if-else-then 语句的常使用三种形式为：(1) if 逻辑表达式语句体end(2) if 逻辑表达式1语句体1else语句体2End(3) if 逻辑表达式 1语句体1elseif 逻辑表达式 2语句体 2elseif 逻辑表达式 3…else语句体nend2) while 循环语句while 循环的一般使用形式为：while 表达式 语句体end 例7：用二分法计算多项式方程在[0，3]内的一个根。

325x x −−=0解：a = 0；fa = -inf ；b = 3；fb = inf ； while b-a > eps*b x =(a+b)/2； fx = x^3-2*x-5； if sign(fx)== sign(fa) a =x ；fa = fx ； elseb = x ；fb = fx ； end end x运行结果为：x = 2.09455151481542332.3 分支结构若需要对不同的情形执行不同的操作，可用switch 分支语句： switch 表达式(标量或字符串) case 值1语句体 1 case 值2语句体 2 …otherwise语句体 n end说明：当表达式不是“case”所列值时，执行otherwise 语句体。