立体几何解答题题库1.如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，P A =AB =AC =3，平面//α平面P AB ，且α与棱PC ，AC ，BC 分别交于P 1，A 1，B 1三点．（1）过A 作直线l ，使得l BC ⊥，11l P A ⊥，请写出作法并加以证明；（2）若α将三棱锥P -ABC 分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体P 1A 1B 1C 的体积更小），D 为线段B 1C 的中点，求四棱锥A 1-PP 1DB 1的体积．2.如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．(1)求四棱锥P -ABCD 的体积；(2)证明：BD ∥平面PEC ；(3)线段BC 上是否存在点M ，使得AE ⊥PM ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．3.如图1所示，平面多边形CDEF 中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥AB ，AB =2EF =2,沿着AB 将图形折成图2，其中AED ∠90,,AE ED H =︒=为AD 的中点.（Ⅰ）求证：EH ⊥BD ；（Ⅱ）求四棱锥D -ABFE 的体积.4.如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形，且平面⊥PAD 底面ABCD ，121===AD BC AB ，090=∠=∠ABC BAD .（1）证明：：AB PD ⊥；（2）点M 在棱PC 上，且CP CM λ=，若三棱锥ACM D -的体积为31，求实数λ的值. 5.已知ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD =DC =a ，2AD a =，M 、N 分别是AD 、PB 的中点。

（Ⅰ）求证：平面MNC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求点A 到平面MNC 的距离。

6.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =AC ，E 是BC 的中点.（1）求证：平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1；（2）求证：A 1C ∥平面AB 1E ．如图，ABCD 为矩形，点A 、E 、B 、F 共面，且ABE ∆和ABF ∆均为等腰直角三角形，且BAE AFB ∠=∠=90°．（Ⅰ）若平面ABCD ⊥平面AEBF ，证明平面BCF ⊥平面ADF ；（Ⅱ）问在线段EC 上是否存在一点G ，使得BG ∥平面CDF ，若存在，求出此时三棱锥G -ABE 与三棱锥G -ADF 的体积之比．8.如图，四边形ABCD 为菱形，ACEF 为平行四边形，且平面ACEF ⊥平面ABCD ，设BD 与AC 相交于点G ，H 为FG 的中点.（Ⅰ）证明：BD ⊥CH ；（Ⅱ）若AB =BD =2，AE =3，CH =32，求三棱锥F -BDC 的体积.9.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB =2,BC = EF =1,6AE =,DE =3,60BAD ∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：FG ∥平面BED ；（2）求证：BD ⊥平面AED ；（3）求点F 到平面BED 的距离.如图，在底面为梯形的四棱锥S -ABCD 中，已知//AD BC ，60ASC ∠=，2AD DC ==，2SA SC SD ===.（1）求证：AC SD ⊥；（2）求三棱锥B -SAD 的体积.11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，112AB AD CD ===， ∠BAD ＝∠CDA ＝90°，2PC PD ==．（1）求证：平面P AD ⊥平面PBC ；（2）求直线PB 与平面P AD 所成的角；（3）在棱PC 上是否存在一点E 使得直线BE ∥平面P AD ，若存在求PE 的长，并证明你的结论． 12.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，其对角线的交点为O ，且AB =AC 1，1AB B C ⊥.（1）求证：AO ⊥平面BB 1C 1C ；（2）若12BB =，且1160B BC B AC ∠=∠=︒，求三棱锥C 1-ABC 的体积.13.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，60BAD ∠=︒．（1）求证：平面PBD ⊥平面P AC ；（2）若PA AB =，M 为线段PC 的中点，求三棱锥C -MBD 的体积。

14.如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，EF ∥AB ，BC ⊥FD ，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：PQ ∥平面ABCD ；（2）若CD ⊥BE ，EF ＝EC ＝1，223CD FF BC ==，求五面体ABCDFE 的体积． 15.如图所示，四棱锥S -ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，090ABC ∠=，3AB =，BC =1，23AD =，060ACD ∠=，E 为CD 的中点.（1）求证：BC ∥平面SAE ；（2）求三棱锥S -BCE 与四棱锥S -BEDA 的体积比.16.如图示，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，PD AD =，E 、F 分别CD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：EF ⊥平面PAB ； （Ⅲ）设33==BC AB , 求三棱锥P -AEF 的体积.17.如图所示的几何体QP ABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，60DAB ∠=︒，AD DC ⊥，AB BC ⊥，QD ⊥平面ABCD ，PA QD ∥，1PA =，2AD AB QD ===.（1）求证：平面P AB ⊥平面QBC ；（2）求该组合体QP ABCD 的体积.18.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，△P AD 为等腰三角形，∠APD ＝90°，平面P AD ⊥平面ABCD ，且AB ＝1，AD ＝2，E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AD ；(2)证明：平面PDC ⊥平面P AD ；(3)求四棱锥P —ABCD 的体积．19.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点.(Ⅰ)求证：B 1C ∥平面A 1BD ；(Ⅱ)若1,2,,6011====∠=∠BC AC BB AB ACB AB A，求三棱锥A 1-ABD 的体积.20.如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是边长为4的正方形, PA ⊥平面ABCD ,E 为PB 中点,42PB =.(1).求证: PD ∥平面ACE ;(2).求三棱锥E -ABC 的体积。

21.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB ⊥PD ．（1）证明：平面P AB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =， E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，BC =2，求四面体A -PED 的体积．22.如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AD ＝AS ＝2，AB ＝1，CD ＝3，点E 在棱CS 上，且CE ＝λCS ．（1）若23λ=，证明：BE ⊥CD ； （2）若13λ=，求点E 到平面SBD 的距离．23.如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AD =2AB =2BC ，M 为边AD 的中点，CB 1⊥底面ABCD .⑴ 求证：C 1M ∥平面A 1ABB 1；⑵ 平面B 1BM ⊥平面ACB 1.24.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90ABC ∠=︒，222BC AD AB ===，,2PB PC PD ⊥=.(Ⅰ)求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)若PC PB =,求点D 到平面PAB 的距离.25.四棱锥S -ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，222AB BC CD ===，△SAD 为正三角形．（1）点M 为棱AB 上一点，若//BC 平面SDM ，AM AB λ=，求实数λ的值；（2）若BC SD ⊥，求点B 到平面SAD 的距离．26.（本小题满分12分）已知四棱锥P -ABCD 的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形，E 是侧棱PC 上的动点（1）求证：平面P AC ⊥平面BDE ．（2）若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．27.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ．（2）若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，四棱锥P －ABCD 的体积为9，求四棱锥P －ABCD 的侧面积. 28.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，P A ⊥底面ABCD ，2PA =45PAD ∠=︒，点E ，F 分别为棱AB ，PD 的中点。

（1）求证：AE ∥平面PCE ；（2）求证：平面PCE ⊥平面PCD29.（本题满分12分）如图1，已知直角梯形ABCD 中，122AB AD CD ===，AB//DC ，AB ⊥AD ，E 为CD 的中点，沿AE 把△DAE 折起到△PAE 的位置（D 折后变为P ），使得PB =2，如图2．（Ⅰ）求证：平面PAE ⊥平面ABCE ；（Ⅱ）求点B 到平面PCE 的距离．30.如图，四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，其对角线的交点为O ，且SD SA SC SA ⊥=,.（1）求证：SO ⊥平面ABCD ；（2）设P SD AB BAD ,2,60===∠ 是侧棱SD 上的一点，且SB ∥平面APC ，求三棱锥A -PCD 的体积. 31.如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，12AE CD =，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示． (Ⅰ)求证：EM ∥平面ABC ； (Ⅱ)求出该几何体的体积．32.如图，直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，5AC BC ==，6AA AB '==，D ，E 分别为AB 和BB ′上的点，且AD BE DB EB='． （1）当D 为AB 中点时，求证：A ′B ⊥CE ；（2）当D 在AB 上运动时，求三棱锥A ′-CDE 体积的最小值．33.正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，,//,2,4AD CD AB CD AB AD CD ⊥===，点M 是EC 中点.（I ）求证：BM ∥平面ADEF ； （II ）求三棱锥M －BDE 的体积.34.如图,在底面是正三角形的直三棱柱111C B A ABC -中,21==AB AA ,D 是BC 的中点．(1)求证：//1C A 平面D AB 1；(2)求三棱锥D AB A 11-的体积．35.如图，在四棱锥E -ABCD 中，//,90AB CD ABC ∠=︒,224CD AB CE ===，点F 为棱DE 的中点.（1）证明：AF ∥平面BCE ；（2）若4,120,25BC BCE DE =∠=︒=，求三棱锥B -CEF 的体积.36.如图，在矩形ABCD 中，2,1BC AB ==，P A ⊥平面ABCD ，1//,2BE PA BE PA =，F 为P A 的中点.（1）求证：DF ∥平面PEC ；（2）记四棱锥C - P ABE 的体积为V 1，三棱锥P -ACD 的体积为V 2，求12V V . 37.如图，在三棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为梯形，3,42,//π=∠==ADB AD BD CD AB ，点P 在底面ABCD 内的正投影为点M ，且M 为AD 的中点.（1）证明： AB ⊥平面P AD ；（2）若PB PD DC BC ⊥=,，求四棱锥P -ABCD 的体积.38.如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB =AD ，CD =BC .（1）求证：平面PBD ⊥平面P AC ；（2）若∠BAD =120°，∠BCD =60°，且PB ⊥PD ，求二面角B -PC -D 的平面角的大小.39.如图，在各棱长均为4的直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，∠BAD =60°，E 为棱BB 1上一点.（1）证明：平面ACE ⊥平面BDD 1B 1；（2）在图中作出点A 在平面A 1BD 内的正投影H （说明作法及理由），并求三棱锥B -CDH 的体积. 40.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，2PA PD AD ===，M ，N 分别为线段PC ，AD 的中点.（Ⅰ）求证：AD ⊥面PNB ；（Ⅱ）若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥P-NBM的体积.41.在如图所示的几何体中，PB∥EC，PB =2CE=2，PB⊥平面ABCD，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=60°．（1）求证：AC∥平面PDE；（2）求CD与平面PDE所成角的正弦值．42.在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，P A =AD=DC=2AB=2，PD =AC，E是棱PC的中点，且BE⊥CD.（Ⅰ）求证：P A⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点P到平面BDE的距离.43.已知平面四边形P ABC中，PAC PCA∠=︒，现沿AC进行翻折，得到三棱锥P-ABC，点∠=∠中，90BACD，E分别是线段BC，AC上的点，且DE∥平面P AB.求证：（1）直线AB∥平面PDE；（2）当D是BC中点时，求证：平面ABC⊥平面PDE.44.如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，点M在线段PC上，且PM=2MC，O为AD的中点.（Ⅰ）若P A =PD ，求证：平面POB ⊥平面P AD ；（Ⅱ）若平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等边三角形，且AB =2，求三棱锥P -OBM 的体积.45.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PD AC ⊥.（Ⅰ）证明：直线AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若DP DA DB ===1，3PB =，求四棱锥P -ABCD 的体积.46.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 是正方形，点O 是侧面11ACC A 的中心，2ACB π∠=，M 是棱BC 的中点.（1）求证：//OM 平面11ABB A ；（2）求证：平面1ABC ⊥平面1A BC .47.（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.48.（本小题满分13分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=32，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．49.（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．50.如图，在多边形PABCD 中，//AD BC ，AB AD ⊥，2PA AB AD BC ===，60PAD ∠=︒，M 是线段PD 上的一点，且2DM MP =，若将PAD ∆沿AD 折起，得到几何体P ABCD -.（1）试问：直线PB 与平面ACM 是否有公共点？并说明理由；（2）若1BC =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P ACM -的体积．51.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P D ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是菱形，∠BAD =600 ，AB=PD=2，O 为AC 与BD 的交点.（Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；（Ⅱ）若点E 是PB 的中点，求三棱锥E —ABC 的体积.52.如图，在三棱锥P -ABC 中，22,4,AB BC PA PB PC AC O ======为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离.53.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离．54.（12分）如图，在三棱锥P -ABC 中， 22AB BC ==，P A =PB =PC =AC =4，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且MC =2MB ，求点C 到平面POM 的距离．55.已知直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，AB ∥DC ，2AB =，3DC =，E 为AB 的中点，过E 作EF ∥AD ，将四边形AEFD 沿EF 折起使面AEFD ⊥面EBCF .（1）若G 为DF 的中点，求证：EG ∥面BCD ；（2）若2AD =，试求多面体AD BCFE -的体积.56.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，12AB AA =，M 是AB 的中点，△11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点．（Ⅰ）若DE ∥平面11A MC ，求CE EB； （Ⅱ）平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比． 57.多面体ABCDEF 中，EF BC //，6=BF ，△ABC 是边长为2的等边三角形，四边形ACDF 是菱形，060=∠FAC ， M ，N 分别是AB ，DF 的中点.（1）求证：//MN 平面AEF ；（2）求证：平面⊥ABC 平面ACDF .58.如图，四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形， 60=∠BAD , 平面P AD ⊥底面ABCD ，且△P AD 是边长为2的等边三角形，6=PB ，M 是AD 中点．(1)求证：平面PMB ⊥平面P AD ；(2)证明：∠PDC >∠P AB ，且△PDC 与△P AB 的面积相等.59.如图，三棱锥D ABC -中，2AB =，2AC BC ==，ADB ∆是等边三角形且以AB 为轴转动.（1）求证：AB CD ⊥；（2）当三棱锥D ABC -体积最大时，求它的表面积.60.如图，在三棱锥S - ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为边长为2的等边三角形，∠BAC =90°，O 为BC 中点.(I)证明: AC ⊥SO ;(Ⅱ)求点C 到平面SAB 的距离.61.中秋节即将到来，为了做好中秋节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD 剪去四个全等的等腰三角形SEE '，SFF '，SGG '，SHH '再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S EFGH -，其中,,,A B C D 重合于点O ，E 与E '重合，F 与F '重合，G 与G '重合，H 与H '重合（如图所示）．（1）求证：平面SEG ⊥平面SFH ；（2）已知52AE =，过O 作OM SH ⊥交SH 于点M ，求cos EMO ∠的值．62.如图1，ABC ∆是边长为3的等边三角形，D 在边AC 上，E 在边AB 上，且AE BE AD 2==.将ADE ∆沿直线DE 折起，得四棱锥BCDE A -'，如图2.（1）求证：B A DE '⊥；（2）若平面⊥E AD '底面BCDE ，求三棱锥CE A D '-的体积.63.如图所示，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠=，E ，F 分别为AC ，DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.64.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且11A AB A AD ∠=∠.（1）证明：四边形11BB D D 为矩形；（2）若1,60AB A A BAD =∠=︒，1A C ⊥平面11BB D D ，求四棱柱1111ABCD A B C D -的体积.65.如图（1）所示，长方形ABCD 中，AB =2AD ，M 是DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得AD ⊥BM ，如图（2）所示，在图（2）中，（1）求证：BM ⊥平面ADM ；（2）若AD =1，求三棱锥B -MCD 的体积.66.如图所示，正三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高为2，点D 是A 1B 的中点，点E 是B 1C 1的中点.（1）证明：DE ∥平面ACC 1 A 1；（2）若三棱锥E - DBC 的体积为123，求该正三棱柱的底面边长.67.如图，已知四棱锥ABCD P -，底面ABCD 为菱形，2=AB ，120=∠BAD ,⊥PA 平面ABCD ，N M ,分别是PC BC ,的中点。