立体几何大题专练1、如图，已知PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点;⑴求证:2Q.证明江1〉取FD的中点AE,NE t丁Nft PC 的中点.A NEX^CD .又四边形ABCU为矩形且M星BA中点'MN:* 寺CD垒MA ,£：■ NEXMA.KP四边形MAEN是平行四也形, 昇MN〃AE*由于AEU罕面PAD,MN(Z^ffi PAD・A MN"平廊PAD,(2>V FA 丄平ABCD，ZPDA-45\ 代APAD是等B?三肃形•桩AE」PH 由题意，CD丄AD,CD丄叭:.CD丄平面PAD.从而AE_LCD,代AE丄平面PCD,故VIN丄平而PCH .Ml、If ：< 1)「1 {' 的方程为(x —a)* + (y一h J —pf(2a+ b・0*... IQ*V ■ ■ ■ V ■]... 12*……rABC PA PC ABC 90 PEF PBC EF QE F AC BC EF // AB....2 分又EF 平面PAB，AB 平面PAB，EF //平面PAB.• (5)(2)Q PA PC，E为AC的中点，PE AC (6)P ABC E,F AC, BC EF // PAB PAC又Q平面PAC 平面ABCPE 面ABC ................. 8 分PE BC ............... 9 分又因为F为BC的中点，Q ABC 900, BC EF .................... 10 分BC 面PEF ............... 11 分又Q BC 面PBC面PBC 面PEF ............... 12分3.如图，在直三棱柱ABC-ABQ中，AC=BC点D是AB的中点(1)求证:MN //平面PAD MN GD 图，正方形ABGD所在的平面与三角形A D E 所在平面互相垂直，AAEE 是等腰直角三角形，且AE =ED设线段BG AE 的中点分别为F 、M ，求证：(1) FM II 平面EGD ；(2)求二面角E-BD — A 的正切值.(1)证明：取 AD 的中点 N,连结FN,MN,则MN I ED ，FN II GD•••平面 FMN I 平面 EGD.•/ MF 在平面FMN 内，• FM I 平面EGD……5分(2)连接EN, v AE=ED ，N 为AD 的中点， • EN 丄 AD.又•••面 ADE 丄面 ABGD ，• EN 丄面 ABGD.作NP 丄BD,连接EP,贝U EP 丄BD ， • / EPN 即二面角 E-BD-A 的平面角，设AD=a, •/ ABGD 为正方形，/ ADE 为等腰三角形,• tan / EPN= . 2 ..... 10 分7.如图，一个圆锥的底面半径为 2cm,高为6cm ,其中有一个高为⑴试用X 表示圆柱的侧面积；BG PA矩形ABGD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PGF N(2)当X为何值时，圆柱的侧面积最大 . r 则有一 2 6 x ,即r 6 2 X 3.…s 圆柱侧 2 rx 2 (2 2X)x 4 x 2 x 2... 3 3 ....5 分19. (1)解：设所求的圆柱的底面半径为 r •- EN= a,NP= 2.2 --a. X cm 的内接圆柱x—纟2— 3时，这个二次函数有最大值为62（厅）23cm 时，它的侧面积最大为6 Cm ……10 分ABC 中，/ PAB 是等边三角形，/ PACK PBC=90 o.由已知，平面PAC 平面PBC ，故AEB 90 . 因为 Rt AEB Rt PEB ，所以AEB, PEB,CEB1PABC 的体积V S PC39.（本题满分12分）如图，在四棱锥 P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形,/ ADC = 45° AD = AC = 1，O 为 AC 的中点，P0丄平面 ABCD ，P0= 2，M 为PD 的中点.(1) 证明：AB 丄PC; 若PC 4，且平面PAC 丄平面PBC ，求三棱锥P ABC 体积.解: (1) 因为 PAB 是等边三角形， PAC PBC 90 ,所以 Rt PBC Rt PAC ,可得 AC BC 如图，取 AB 中点D ，连结PD , CD , 则PD AB , CD AB , 所以 AB 平面PDC , 所以 AB PC (2) 作BE PC ，垂足为E ，连结AE . 因为 Rt PBC Rt PAC 所以 AE PC ，AE BE .由已知PC 4，得AE BE 2， AEB 的面积S因为PC平面AEB ，（2）由（1）知当 所以当圆柱的高为8.( 10 分)如图，在三棱锥P都是等腰直角三角形。
所以三角锥10(1)证明PB //平面ACM ;⑵证明AD 丄平面PAC ;(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.解析： (1)证明：如图，连接 BD , MO ,在平行四边形 ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以0为BD 的中点.又M 为PD 的中点，所以 PB // M0.因为PB?平面ACM , MO?平面ACM , 所以PB //平面ACM .(2)证明：因为/ ADC = 45° 且 AD = AC = 1,所以/ DAC = 90° 即 AD 丄 AC.又PO 丄平面 ABCD , AD?平面ABCD ，所以PO 丄AD.而AC APO = O ,所以AD 丄 平面PAC.⑶如图，取DO 中点N ，连接MN , AN.因为M 为PD 的中点，所以 MN // PO ,1且MN = 2卩。
=1，由PO 丄平面 ABCD ，得 MN 丄平面 ABCD ，所以/ MAN 是1直线AM 与平面 ABCD 所成的角.在 Rt △ DAO 中，AD = 1, AO =㊁，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为10 (本小题满分12分)如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC ^B 1C 1中，AC 3, AB 5, BC 4, AA 4，点 D 是占八、、•(I)求证：AC BC 1 ；(II )求证：AC,/ 平面 CDB 1 ； (III )求三棱锥 A B 1CD 的体积.证明：（I ）在厶 ABC 中，••• AC 3, AB 5, BC 4, •••△ABC 为直角三角形，••• AC BC ,DO =扌从而 AN = *DO =于在 Rt △ ANM中, tan / MANMN _ 丄 _4/5AN _ ^5_ 5 ，T••• AC 平面 BCC 1 AC BC 1. (II )设B i C 与BC i 交于点E ,则E 为BC i 的中点，连结 DE 则在△ ABC i 中，DE //AC i ，又 DE 面 CDB i , …AC i // 平面 B i CD . (Ill )在厶ABC 中，过C 作CF AB ，F 为垂足, •••平面ABB iA 平面 ABCAC ••• CF 平面 ABB 1A I ，而 CF BC AB3 4 12VA BiCDV C A |DB 1 , io 分 而 SVDA 1B 1 (V)A BiCD 1 A |B I gAA i2 1 1 10 ,2 ii 分 311.(本小题满分12分) io i2 i2分 如图，在四棱锥 P-ABCD 中, 平面 PADL 平面 ABCD AB=AD,Z BAD=60 ,E 、F 分别是 AP 、AD 的中点 求下：(1)直线 EF12.(本小题满分 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱 i2 分)ABCD , PD CD, E 是 PC 的中点，作 EF PB 交PB 于点F 。
(I) 求证：PA//平面EDB ； (II) 求证：PB 平面EFD ； (Ill )求二面角P BC D 的大小。
13.(本小题满分 如图，四棱锥 i2分) P ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的 正方形, PA PB PC PD ,5 DPD 底面 求二面角P AB C 的度数 若M 是侧棱PC 的中点，求异面直线PA 与BM 所成角的正切值 (1) (2) 14 .(本小题满分 12分) 若图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形, PD 平面 ABCD EC//PD , 且 PD=2EC (i )求证：BE//平面PDA (2)若N 为线段PB 的中点, 求证:EN 平面 PDB(1) (2)i5. 证明：EC// PDA EC//面证明：取BD 的中点O, (本小题满分 12分)PAD 同理BC//面 连NO CO 易知，PAD •••面 BEC//面 PA COL BD 又 J CO 丄 PD D • BE//面 PAD :• CO L 面 PBD是菱形，0点是BC的中点，EO 平面ABC。
(1)求异直线AC和BE所成角的大小；(2)求平面ABE与平面ADE所成锐二面角的余弦值。