1
1 1 1 Re s f z lim 2 lim z z (z 2 z )' z z 2z 2 2 1 2
dz 1 i 2iRes f ( z ) 2i 2 2 z 2 z 2 1 1 2 | z| 1
n
f ( z )dz ?
l
复习：如果 f(z) 是复闭通区域上的解析函数，则
f ( z)dz
l
重要例题结论：
1 2i
i 1
li
f ( z )dz 0.

l
0, dz z 1.
l不包围 l包围 n 1
2
1 n ( z ) dz 0. l 2i
§4.1 留数定理
（一）留数定理
设函数f(z)在回路l所围区域 B上除有限个孤立奇点 b1,b2, … ,bn外解析，在闭区域 B 上除 b1,b2, … ,bn 外连续，则
f ( z)dz 2i Res f (b ).
l j 1 j
n
其中Res f(bj)表示函数f(z)在点 bj邻域洛朗展开式 中负一次幂项系数，称为函数f(z)在孤立奇点bj处 的留数(residue)。
＋

l顺时针
f ( z )dz 2i Re s f ()
0 2if ( z) 在所有各点的留数之和
7
（二）留数的计算
1、按定义
将函数f(z)在奇点z0的邻域 中展成洛朗级数：
Res f(z0)= a-1 对z=∞点要反号： Res f(∞)= - a-1 例如：函数
1 z
f ( z ) e 在奇点z =0的留数（p46）。
0 1
dz 2 z 2z z 1
• 0 y o • 2 x
dx , 例1 I 1 cos x 0
解 I
dz / iz 2 1 zz i z 1 1 2
z平面 • 1 x
2 i 2 p55 I 2 i 1 2 1
10
例1：求 f ( z )
解：
1 ( z n 1)
在z0= 1 处的留数.
1 1 z0= 1是单极点 f ( z) n n 1 n 2 ( z 1) ( z 1)( z z z 1)
1 Re s f (1) lim( z 1) n 1 n 2 z 1 ( z 1 )( z z z 1 ) 1 1 lim n 1 n 2 z 1 z z z 1 n
第四章 留数定理(3)
已讲：一个解析函数在它的解析区域内各 处的函数值有很强的内在联系。这突出
表现在柯西积分公式(p29)及其推论。
本章：讨论这种关系的另一种表现形式 解析函数的积分值与函数奇点的关系。
1
§4.1 留数定理
由柯西定理，若f(z)在l内解析， l f ( z )dz 0 ，
若f(z)在l内有奇点，
lim ( z z0 ) m f ( z ) am 非零有限值
求 a-1, 对照p38(3.3.4) ， (z-z0)m-1项前的系数可表为
z z0

a1 ( z z0 )m1 a0 ( z z0 )m
(4.1.11)

1 d m1 m Res f ( z0 ) a1 lim [( z z0 ) f ( z )] m 1 z z0 ( m 1)! dz
z n lim ( z n ) f ( z ) lim z n z n sin z ( z n )' 1 lim lim ( 1)n z n (sin z )' z n cos z
z 2i 例3：求 f ( z ) 5 3 的极点，以及在极点上的留数 z 4z 解：
3
1、 l内有一个孤立奇点 z=z0
f ( z)dz
l
l0
f ( z )dz
f ( z)
k
k a ( z z ) k 0
k a ( z z ) dz k 0 k a ( z z ) dz k 0 l0


l
f ( z )dz
l0
k
9
4、m (m2)阶极点留数的计算 设 z0 是 f(z) 的 m 阶极点
a m a1 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) m ( z z0 ) z z0
两边乘 ( z z0 )m , 得到：
( z z0 )m f ( z ) am am1 ( z z0 )
③本性奇点z=∞ ，
e a e a sha Re sf () [Re sf (ia) Re sf (ia)] 2ia ia
15
例：求 f(z) = z/(z-1)的Res f(∞) 解：f(z) = z/(z-1)，在有限远的仅有单极点z=1，而 Res f(1)=1 Res f(∞)+ Res f(1)=0 所以，Res f(∞)=-1 另解：将f(z)以 z= ∞为展开中心，在


1 1 i lim z 0 ( z 2i ) 3 8 8i
例4：计算沿单位圆 | z |=1 的回路积分。
dz 2 z 2z | z| 1
(0 1)
13
解：寻找被积函数在单位圆内的极点，即它的分母在单位 圆内的零点。
z 1 1 1 f ( z) 1 2 1 z 1 1 z z z
1 z
展开
所以， Res f(∞)=-a-1=-1
本节作业：第55页 第1题（2，5）； 第2题（2，3）。
16
§4.2 应用留数定理计算实变函数定积分
实变函数积分复变函数的回路积分 基本思想: 将在区间 l1=[a, b] 的实变函数积分 与复平面上的回路积分联系起来。 积分
20
类型二：



f ( x)dx
其中：(1) 积分区间是 (-, + ); (2) 复变函数 f(z) 在实轴上无奇点，在上 半平面除有限个奇点（b1, b2…bn) 外解析； (3) 当 z 在上半平面及实轴上时，zf(z) 一致地 0； 如果 f(x) 是有理分式 φ(x)/ψ (x) ,则ψ (x)在实轴 无零点， ψ (x)的次数至少高于φ(x) 二次。
• a
y l2
l
l1
• b x
f ( z)dz
l
b
a
f ( x)dx f ( z)dz.
l2
如果左边积分和右边第二个积分可以利用复变函数理论容
易求出，这样就可以完成实变函数定积分。
18
类型一：
R(cos x, sinx)dx
0
2
其中：（1） R(cosx, sin x) 是 sinx, cosx 的有理式； （2）积分区间是 [0, 2]； (3) 在区间[0, 2]内，R无奇点。
2ia1 2i(a1 ) 2i Re s f ()
即使无限远点不是奇点， Res f(∞) 也可以不为零。
4、留数和定理
若函数f(z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函 数f(z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零。
6
证明：

l逆时针
f ( z )dz 2i f ( z ) 在所有有限远奇点的留 数之和
特殊情形
f ( z) P( z ) ，P(z)和Q(z)都在z0点解析，z0是Q(z) Q( z )
的一阶零点， P(z0) ≠0，从而z0是f(z)的一阶极点， 则
P( z ) P( z0 ) Res f ( z0 ) lim( z z0 ) z z0 Q( z ) Q' ( z0 )
z 2i z 2i 1 f ( z) 3 2 3 3 z z 4 z z 2i z 2i z z 2i
单极点 2i, 三阶极点0
12
z=2i z=0
Re s f ( 2i ) limz 2i f ( z ) lim
z 2 i
I

b
a
f ( x)dx
可以看做复变函数线积分的特例,即是复变函数在 实轴上的线积分。因此，可把上述实数积分与复 变函数积分联系起来。
17
方法一、通过变量变换，把区间 l1=[a, b]映射成复平面的回路，把实 数积分变成复平面的回路积分。 方法二、如果 补充线段 l2,可构成回 路积分l。l包围区域B，实函数f(x) 解析延拓到闭区域 B中，而实积分 成为回路积分的一部分。
1 1 i 3 z 2 i z 8i 8
1 1 lim z f ( z ) lim z 0 z 0 z 2i 2i
3


1 d2 3 1 d2 1 Re sf (0) lim 2 z f ( z ) lim 2 z 0 2! dz z 0 2! dz z 2i
21
积分主值概念：反常积分



f ( x)dx
14
第55页 1(4). 确定函数
留数。
解：①单极点 z=ia,
e iz z2 a2
的奇点，求出函数在各奇点的
e iz e a Re sf (ia) lim( ) z ia z ia 2ia
iz a a e e e ②单极点 z=-ia, Re sf (ia) lim ( ) z ia z ia 2ia 2ia
l i 1 n i 1
n
li
f ( z )dz