1 d ez Res[ f (1)] = lim (z −1)2 2 z→ d z 1 (2 −1)! z(z −1) d ez ez (z −1) = lim = lim = 0. 2 z→ d z z 1 z→ 1 z
所以： 所以：
∫
1 limf ( z ) = lim = ∞ 是单极点。 是单极点。 z → n π sinz z → nπ
z − nπ lim [( z − nπ ) f (z)] = lim z → nπ sin z z → nπ = (−1)n −
例4 计算积分
∫
C
ze z d z ，C为正向圆周|z|=2. 为正向圆周| |=2. 2 z −1
∫ f (z) d z = 2πi∑Res f (b ).
l j =1 j
n
D b n ln l3 b3 l2 b1 b2 l l1
证明 把在 内的孤立奇点zj(j=0，1,2,..., )用互不包含的正 把在l内的孤立奇点 =0，1,2,...,n)
围绕起来： 向简单闭曲线 lj 围绕起来： (1) l 包围一个 = 2 π i
∑
j =1
n
Res f (z j ).
zn l3 z3
ln l2
z1 l 1 z2 l
D
求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内 洛朗级数中a 项的系数即可. 但如果知道奇点的类型, 洛朗级数中 -1(z-z0)-1项的系数即可. 但如果知道奇点的类型, 可以用简单方法求留数. 可以用简单方法求留数.
f (z) =
k = −∞
l
∑
∞
z0 时
l
0
z
0
a k ( z − z0 )k
Cauchy定理知： 定理知： 由
1 2 πi
∫
l
∞
f ( z ) dz =
∫
l0
f ( z ) dz
∫
l0
1 1 dz = z-α 0
n = −1 n ≠ −1
∫
l
f (z)dz =
∑∫
k = −∞ l 0
a k (z − z 0 ) k dz = 2 π ia - 1 = 2 π iRes(z 0 )
∫
C
z ez e e−1 d z = 2 π i( + ) = 2 π i ch1 2 2 2 z −1
也可以下式来求留数: 也可以下式来求留数:
z → z0
lim ( z − z0 ) f ( z ) =
P = ze z , Q = z 2 − 1
P (z0 ) Q ' ( z0 )
z ez Res f (1) = 2z
z→ z0
lim (z - z 0 )f (z ) = 非有限值
1 d m −1 Re sf ( z0 ) = lim { m −1 [( z − z0 ) m f ( z )]} z → z ( m − 1)! dz
0
例1 . 求 解：
1 f ( z) = n 的留数。 在z=1的留数。 的留数 z −1
1 = + …… + 1) n
例2.求函数
f ( z) =
1 ( z 2 + 1) 3
的留数。 在 z = i 的留数。
显然， 是函数的三阶极点 是函数的三阶极点。 解：显然，z=i是函数的三阶极点。
1 d2 Resf(i) = lim z → i (3 − 1)! dz 2
=− 3 i 16
1 1 d2 3 ( z − i ) 2 3 = lim ( z + 1) z → i 2! dz 2
∫
C
z d z = 2 π i{Res[ f (1)] + Res[ f (−1)] 4 z −1 + Res[ f (i)] + Res[ f (−i)]}
∫
C
P(z) z 1 = 3 = 2, Q′(z) 4z 4z z 1 1 1 1 d z = 2 π i( + − − ) = 0 4 4 4 4 4 z −1
Q ( z 0 ) = 0 , Q ′( z 0 ) ≠ 0 , P ( z 0 ) ≠ 0
则有： 则有：
P ( z) lim ( z − z0 ) f ( z ) = lim ( z − z0 ) = z→z z→z Q( z )
0 0
B. 如果z0为f(z)的m阶极点, 则 如果 的 阶极点, 阶极点
P ( z0 ) = Q( z ) − Q( z0 ) Q′( z0 ) lim z→z ( z − z0 )
z → z0
0
lim P ( z )
a− m a m +1 a −1 f (z) = + +L+ + a0 + a1 ( z − z0 ) m m +1 z − z0 ( z − z0 ) ( z − z0 ) + L ( z − z0 ) m + ... (z − z0 ) m f (z) = a − m + a − m +1 ( z − z0 ) + L + a −1 ( z − z0 ) m −1 + a0 ( z − z0 ) m + a1 ( z − z0 ) m +1 L
∫
l
f (z) d z = ?
∫
l
f (z) d z = (
l
∫∑
k =−∞
∞
ak zk )dz = 2πi(−a−1)
负号来源于积分方向与有限远点的正积分方向相反。 负号来源于积分方向与有限远点的正积分方向相反。 2、留数定理 在圆环域R<|z|<∞内解析, l 为圆环域内绕 设函数 f(z) 在圆环域 ∞内解析, 为圆环域内绕 原点的任何一条简单闭曲线, 则绕无穷远点的正向积分： 原点的任何一条简单闭曲线, 则绕无穷远点的正向积分：
第四章 留数定理
重点
1、留数的概念与留数定理； 留数的概念与留数定理； 2、应用留数定理计算复变函数的积分； 应用留数定理计算复变函数的积分； 3、应用留数定理计算实变函数的积分
§4.1
1.留数 1.留数
留数定理
一 、留数及留数定理
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据Cauchy定理 的邻域内解析, 那么根据Cauchy定理 Cauchy
∫ f (z) d z = 0.
l
但是, 如果z 的一个孤立奇点, 但是, 如果 0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在 0的某个去 的一个孤立奇点 则沿在z 心邻域0<|z-z0|<R内包含 0的任意一条正向闭曲线的积分 内包含z 心邻域 内包含
∫
l
f (z) d z = ?
因此将f( )在此邻域内以z 因此将 (z)在此邻域内以 0为中心展开为洛朗级数 f(z)=...+a-n(z-z0)-n+...+a-1(z-z0)-1+a0+a1(z-z0)+... +an(z-z0)n+... 后,两端沿l 逐项积分, 右端各项积分除留下 -1(z-z0)-1的一 两端沿 逐项积分, 右端各项积分除留下a 项等于2πia 其余各项积分都等于零, 项等于2πia-1外, 其余各项积分都等于零, 所以
包围多个孤立奇点时： （2）l 包围多个孤立奇点时：
∫ f (z)d z = ∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z +L+ ∫ f (z)d z.
l l1 l2 ln
∫ f (z)d z = 2πi[Res f (z ) + Res f (z ) +L+ Res f (z )]
1 2 n l
解
z ez 由于 f ( z ) = 2 有两个一级极点+1,-1, 而这两个 有两个一级极点+1,+1, z −1
极点都在圆周|z|=2内, 所以 |=2内 极点都在圆周| |=2
∫
C
ze z d z = 2 π i[Res f (1) + Res f (−1)]. 2 z −1
z ez z ez e Res f (1) = lim(z −1) 2 = lim = z→ 1 z→ z + 1 1 2 z −1 z ez z ez e−1 Res f (−1) = lim(z + 1) 2 . = lim = z→−1 z→−1 z − 1 2 z −1
1 1 f (z) = n = z − 1 ( z − 1)( z n −1 + z n − 2 + L + 1)
是函数的单极点。 可见，z=1是函数的单极点。 是函数的单极点 Resf(1)= lim( z − 1) f ( z ) = lim
z →1
1 ( z n −1 + z n − 2
z →1
二. 留数的计算方法
（1）可去奇点的留数： 可去奇点的留数： 对于可去奇点由定义知： 对于可去奇点由定义知：Resf(z)=0 ( )=0 （2） 极点的留数 如果z A. 如果 0为f(z)的一阶极点（单极点）, 则 )的一阶极点（单极点）
f (z) =
∑
k = −1
∞
k (z − z0） = a −1 ( z − z0 ) −1 + a0 + a1 ( z − z ) + a 2 ( z − z0 ) 2 + ...
C
ez d z = 2 π i{Res[ f (0)] + Res[ f (1)]} 3 z(z −1) = 2 π i(1 + 0) = 2 π i.