秘密★启用前 【考试时间：2019年11月14日 15:00—17:00】重庆市名校联盟2019～2020学年度第一次联合考试数学试题（高2021级）（本试卷共2页，总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。
2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内。
3．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚。
4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线y x 212-=的焦点坐标是（ ） A ．（0，14-） B ．（0，18-） C ．108-（，）D ．104-（，）2．圆（x －2）2+（y +3）2＝2的圆心和半径分别是（ ）A ．（－2，3），2B ．（2，－3），2C ．（－2，3），2D ．（2，－3），23．如图，△A 'B 'C '是△ABC 的直观图，其中A ′B ′＝A ′C ′，A ′B ′∥x ′轴，A ′C ′∥y ′轴，那么△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 4．下列命题正确的是（ ） A ．三点确定一个平面B ．如果两个平面有三个不共线的公共点，则两个平面重合C ．若b a ,是两条直线，βα，是两个平面，且βα⊂⊂b a ,，则a 与b 异面D ．若两条直线与第三条直线垂直，则这两条直线平行5．若圆C ：046422=+--+y x y x 与圆M 关于y 轴对称，则圆M 的方程为（ ） A ．（x +2）2+（y －3）2＝9B ．（x －2）2+（y +3）2＝9C ．（x +2）2+（y －3）2＝3D ．（x －2）2+（y +3）2＝36．已知圆锥的高为1，侧面积为π52，则这个圆锥的体积等于（ ） A ．34π B ．38π C ．4π D ．8π7．若直线x －y +m ＝0被圆（x －1）2+y 2＝5截得的弦长为m 的值为（ ） A ．1B ．－3C ．1或－3D ．28．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，AB ＝AD ＝2，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，则异面直线AD 1与EF 所成角的余弦值为（ ） A．5B．5C ．35D ．459．已知P 、Q 是椭圆15322=+y x 上的两动点，且满足OQ OP ⊥（O 为坐标原点），则2211OQOP+为（ ） A ．81 B ．158 C ．8D ．无法确定10．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线交双曲线的两条渐近线于M ，N 两点，若∆MF 2N 是钝角三角形，则该双曲线离心率的范围是（ ） A ．（2，+∞）B．+∞）C ．（1+2，∞+）D．(11+，11．设区域G ＝{（x ，y ）| x 2+y 2－4y +2≤0}，P （x ，y ）是区域G 内的任意一点，则2222y x y x ++的取值范围是（ ）A ．[0，2] B ．[2，1] C ．[0，1] D ．[1，2]12．已知椭圆C ：22198x y +=的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆x 2+y 2＝9上有一动点P （P 不同于A ，B 两点），直线P A 与椭圆C 交于点Q ，k 1，k 2分别为直线BP ，QF 的斜率，则12k k 的取值范围是（ ） A ．（－∞，98） B ．（－∞，－1）（－1，0） C ．34∞（-，）D ．（－∞，0）3(0,)4第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆x 2+y 2＝1与圆x 2+y 2－6x －8y +m ＝0外切，则m 的值为 . 14．以y ＝± x 为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为 . 15．已知直线l 过点P （2，1），且与双曲线x 2－24y＝1相交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的方程为 .16．在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面SABBC ＝4，当四棱锥S －ABCD 体积最大时，该四棱锥外接球的表面积等于 .三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，连接A C ''，,,,,,A D A B BD BC C D '''' 得到一个三棱锥，求：（1）三棱锥A BC D ''-的表面积与正方体表面积的比值； （2）三棱锥A BC D ''-的体积． 18．（本小题满分12分）已知圆C 经过点A （0，0），B （7，7），圆心在直线43y x =上． （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l 与圆C 相切且在x ，y 轴的截距相等，求直线l 的方程． 19．（本小题满分12分）已知双曲线C 过点（3，－2）和点(1)2． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若点M 在双曲线C 上，F 1，F 2为双曲线的左、右焦点，且|MF 1|＝2|MF 2|，求∆F 1MF 2的面积。
20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，⊥PA AC ，⊥PA AD ，AD//BC ，AB=AD=AC=3，PA=4，CD=6，2=，N 是PC 中点，E 为PB 中点. （1）证明：MN//AE ；（2）求AN 与PM 所成角的余弦值. 21．（本小题满分12分）已知抛物线M ：y 2＝2px （p ＞0）上一点()a A ,1，且FA =2（F 为抛物线M 的焦点）。
（1）若⎪⎭⎫⎝⎛b B ,21，⎪⎭⎫⎝⎛c C ，35是M 上的两点，证明：|FB |，|F A |，|FC |依次成等比数列； （2）若直线y ＝kx －3（k ≠0）与M 交于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点，且OP OQ ⋅＝－4，求线段PQ 的垂直平分线在x 轴上的截距.22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：＝1（a ＞b ＞0），短轴长为P （异于左右顶点）与左右顶点连线的斜率之积为43-。
（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线L 与椭圆C 相切于点A ，过点A 作关于原点O 的对称点B ，过点B 作BM ⊥L ，垂足为M ，求△ABM 面积的最大值．重庆市名校联盟2019～2020学年度第一次联合考试数学试题参考答案（高2021级）1—5 BDDBA 6—10 ACACB 11—12 CD13． 9 14．14422=-y x 15．0158=--y x 16．20π17．解：（1）正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，则三棱锥A ′－BC ′D 的棱长为a ，表面积为4××（a ）2＝2a 2，正方体表面积为6a 2，…………………………………（4分）∴三棱锥A ′－BC ′D………………………………（5分） （2）三棱锥A ′－BC ′D 的体积为a 3－4××a 3＝a 3．………………………………………（10分） 18．解：（1）根据题意，设圆C 的圆心为（a ，b ），半径为r ，则其标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2＝r 2，………………………………………………………（2分）圆C 经过点A （0，0），B （7，7），圆心在直线上，则有，解可得，…………………………………………………（5分）则圆C 的标准方程为（x －3）2+（y －4）2＝25，………………………………………………（6分） （2）若直线l 与圆C 相切且与x ，y 轴截距相等，分2种情况讨论：①，直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx ，则有＝5，解可得：k ＝－，此时直线l的方程为y ＝－x；……………………………………………（8分）②，直线l不经过原点，设直线l的方程为x+y－m＝0，则有＝5，解可得m＝7+5或7－5，此时直线l的方程为x+y +5－7＝0或x+y－5－7＝0；…………………………………（10分）综合可得：直线l的方程为y ＝－x或x+y +5－7＝0或x+y－5－7＝0．……………（12分）19．解：（1）若双曲线焦点在x轴上，设双曲线C 的标准方程为：＝1，则，解得a2＝3，b2＝2，∴双曲线C 的标准方程是：．………………………………………………………（3分）若双曲线焦点在y轴上，设双曲线C 的标准方程为：，则，解得a2＝－2，b2＝－3（舍去）．综上，双曲线C 的标准方程是：．…………………………………………………（6分）（2）因为点M在双曲线上，且|MF1|＝2|MF2|，所以点M在双曲线的右支上，则有，故，，又，因此在△MF1F2中，cos∠F1MF2＝＝．所以12sin6∠=F MF,………………………（10分）112sin21212121=∠=∆MFFMFMFSMFF....................................................................（12分）20．（1）证明：取BC中点F，连接AF，连接EN.因为AM2=，所以M是线段AD的三等分点且AM=2MD在ACD∆中， AC=3，AD=3，CD=632c o s=∠∴C A D在ABC∆中，CADACB∠=∠，AC=3 故CF=2，BC=4……………………………………（4分）又E，N是PB，PC的中点，所以：EN//BC且EN=2又因为：AD//BC，AM=2 所以，EN//AD且EN=AM，故四边形AENM是平行四边形所以：MN//AE………………………………………………………………………………………（6分）（2）取MC中点G，连接AG，连接MC因为N，G分别是PC，MC的中点，所以NG//PM，故ANG∠或其补角是异面直线AN，PM所成角………………………………………………（8分）易得：AN=25，NG=5，AG=221……………………………………………………………（10分）在ANG∆中，222cos225AN NG AGANGAN NG+-∠==⋅12分）21．证明：（1）由题意得：221=+p∴p＝2，∴y2＝4x，…………………………………………………………………………………（2分）根据题意可得：|FB|＝+1＝，|F A|＝1+1＝2，|FC|＝+1＝，……………………………（5分）∵22＝×＝4，∴|FB|，|F A|，|FC|依次成等比数列…………………………………………………………………（6分）（2）由，消x可得ky2－4y－12＝0 ①∴y1+y2＝，y1y2＝－，2219.kxx=∵4.-=→→OQ OP ，即4..2121-=+yy x x∴k ＝23………………………………………………………………………………………………（8分） 将k=23代入①式，0>∆满足条件。