向量法解决立体几何问题
一.引入两个重要的空间向量
1.直线的方向向量
把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与量是
2.平面的法向量
如果表示向量n
的有向线段所在的直线垂 直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作
n ⊥α,这时向量n 叫做平面α的法向量.
在空间直角坐标系中,如何求平面法
向量的坐标呢? 如图,设a =( x1,y1,z1)、 b =(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零 向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n ⊥a
且n ⊥b ,则n ⊥α.换句话说,若n ·a = 0
且n ·b = 0,则n ⊥ α. 求平面的法向量的坐标的步骤
第一步(设):设出平面法向量的坐标为n 第二步(列):根据n ·a = 0且n ·b = 0可列出方程组
第三步(解):把z 看作常数,用z 表示x 、y.
第四步(取):取z 为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n 的坐标.
11122200x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨
++=⎩
例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O 是面AC 的中心,求面OA1D1的法向量.
二.立体几何问题的类型及解法 1.判定直线、平面间的位置关系
(1)直线与直线的位置关系:不重合的两条直线a,b 的方向向量分别为a ,b . ①若a ∥b ,即a=λb ,则a ∥b. ②若a ⊥b ,即a ·b = 0,则a ⊥b
例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD 是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=
θ,求证: C C1⊥BD
a
D y B1
A1 C1
D1 B C
A
D
(2)直线与平面的位置关系
直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且L α.
①若a∥n,即a=λn,则 L⊥α
②若a⊥n,即a·n = 0,则a ∥α
例3棱长都等于2的正三棱柱
(I)A1E ⊥平面DBC1; (II)AB1 ∥
(3)平面与平面的位置关系
平面α的法向量为n1 ,
①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β
②若n1⊥n2,即n1 ·n2= 0,则α⊥β
L
例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 、F 分别是BB1、CD 的中点,
求证:面AED ⊥面A1FD
2.求空间中的角
(1)两异面直线的夹角
利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.
例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M
的余弦值为_____.
(2)直线与与平面所成的角
若n 是平面α的法向量, a 是直线L 的方向向量,则L 与α所成的角θ= -<a,n >或θ= <a,n >- (下图) .
x ππ
于是, 因此
例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,
高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角
（3）二面角
设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z 同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z 异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.
例7在四棱锥S-ABCD 中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA ⊥底面AC ，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C 的大小.
|||||||||||||,cos |sin n a n a n a n a n a ⋅⋅=⋅⋅=><=θ|
||||
|arcsin
n a n a ⋅⋅=θa 2
3.求解空间中的距离 (1)异面直线间的距离
两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.
如图,设两条异面直线a 、b 的公垂线的方向向量为n, 这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点,则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线a 、b 的距离.
∴
即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.
例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD 间的距离.
(2)点到平面的距离
A 为平面α外一点(如图), n 线AH. = = .
,||||||||n n n n d ⋅=⋅=|
,cos |||sin ||||><⋅=⋅=n AB AB AB AH θ||||||n n AB ⋅
于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.
例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,∠ACB=90°, 求B1到面A1BC 的距离.
会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.
例10四棱锥P-ABCD 的底面ACBD 是菱形,AB= 4, ∠ABC=60°, 侧棱PA ⊥底面AC 且PA= 4,E 是PA 的中点,求PC 与平面PED
空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题 。

这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。

2
x
C
A
B
P
F E
D
三．过关练习
1 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，则异面直线AC 与BC 1的夹角为（ ）
（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90° 2．空间四边形ABCD 每边及对角线长均为2，G F E ,,分别是DC AD AB ,,的中点， 则=⋅（ ） （A ）
2
1
B 1 （
C ） 2 （
D ）
2
2 3．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是对角线A 1C 上的点，且
PQ =2
a
，则三棱锥P －BDQ 的体积为
（
）
（A ）3
（B 3
（C 3 （D ）无法确定 4．在正三棱锥P -ABC 中，已知底面边长为4，侧棱长为6，则侧棱与底面所成
角的余弦值为______________．
5. 过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD ，若P A = AB ，则平面ABP 和
平面CDP 所成的二面角的大小是 ．
6．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是上底面ABCD 中心，若棱长为a ，则三棱
锥O —AB 1D 1的体积为 ．
7. 如图，在三棱椎P-ABC 中，P A ⊥平面ABC ，90,BAC ∠=D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB=AC=1，P A =2．
（Ⅰ）求直线P A 与平面DEF 所成角的正弦值； （Ⅱ）求点P 到平面DEF 的距离．
8. 如图，在正三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，D ，E 分别是
棱BC 、1CC 的中点，AB=AA 1=2． (Ⅰ)证明:1BE AB ⊥；
(Ⅱ）求二面角1B AB D --的余弦值； (Ⅲ）求异面直线1AB 与BE 的距离．
9．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1B 1、A 1D 1的中点，G 、H 分别为BC 、B 1D 1的中点．
（1）求异面直线GH 与DF 的所成角的余弦值； （2）证明:直线GH 与平面EFDB 平行．
10．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB = a．
(Ⅰ) 求截画EAC的面积；
(Ⅱ)求证:直线DB1⊥平面EAC；
(Ⅲ)求三棱锥B1—EAC的体积．。