B’ A’
（2）当三棱锥 B'BEF的体积取最大值时，求二
面角 B'EF B 的正切值。
O
C F
图6
B E A
C’ O’
B’ A’
C
F
B
E
O
图6
A
5、如图，平行六面体 ABCD ABCD中，底面ABCD是边长 为a的正方形，侧棱AA 的长为b ,且 AAB AAD 1200.
求（1）AC 的长；
A
B
在C两E与直A线B1上的各距取离点d C|,nA|•,nC|AC |A2(13,30,.0).
xE
y
2、如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，
且AB=BC=2，点E是AC中点；异面直线AD与BE所成
角为 ，且 cos 10 ，求四面体DABC的体积。
10
z
D
B
A
y
C
E
x
3、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1， 且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N 分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的 长度保持相等，记CM=BN= a(0 a 2).
P
E F
D
C Y
A
G
B
X
（2）证明：依题意得B(1,1,0),PB (1,1,1)
又DE (0, 1 , 1),故PB• DE 0 1 1 0
22
22
所以PB DE
Z
由已知EF PB,
且EF DE E,
P
所以PB 平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小。
E F
D
C Y
A B
因为底面ABCD是正方形， 所以点G是此正方形的中心， F
E
故点G的坐标为(1 , 1，0) 22
A X
D
G
B
C Y
且PA (1,0,1),EG (1 ,0, 1) 22
所以PA 2EG，即PA // EG
而EG 平面EDB,且PA 平面EDB
所以，PA// 平面EDB
Z
(2)求证：PB⊥平面EFD
X
（3）解：已知 PB EF ,由（2）可知PB DF , 故EFD是二面角 C PB D的平面角。
设点F的坐标为(x, y, z),则PF (x, y, z 1)
所以( x, y, z 1) k(1,1, 1)
Z
(k,k,k)
即x k, y k, z 1 k
P
因为PF k PB
在三它角的 形顶的点 两处 边分 之别 间受 的力夹角F1都、F是2 、60F，3 且，每F1个 力F2与同F3它相20邻0kg的.
这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小
为多大时，才能提起这块钢板？
分析:钢板所受重力的大
z
小为 500kg ，垂直向下作用在
F1
三角形的中心 O ，如果能将各
均要大于
500 6
kg
．
x
500 6
，
F2
F1
F3
F2 F3 F1
F1 A
F3
F2 C
O
B
500kg
合力就是以 F1 、 F2 、 F3 为棱的平行六面体的对角线 向量(如图所示)
例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点， 作EF⊥PB交PB于点F.
因为PB • DF 0 所以(1,1,1) • (k, k,1 k)
k k 1 k 3k 1 0
所以k 1
3
A
X
E F
D
C Y
B
点F的坐标为(1，1，2) 333
又点E的坐标为(0, 1 , 1) 22
所以FE ( 1 , 1 , 1) 36 6
因为cosEFD FE • FD FE FD
解：如图建立坐标系C xyz,则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1(0,2,4).
设CnnCE••E, ACABEB1(的11,1公0,00)垂, A线即B1的方(x2向2,2x向y,4)量,20y为n4z(x,
y,
0
z).则
A1
C1 C
z
B1
取x=1,则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1)
顶点出所受的力 F1 、F2 、F3 用
向量形式表示，求出其合力， A 就能判断钢板的运动状态. x
F3
F2 C
O
B
y
500kg
解：如图，以点 A 为原点,平面 ABC 为 xAy 坐标平面，AB 方向为 y 轴正方向, AB
为 y 轴的单位长度，建立空间直角坐标系 A─xyz ,则正三角形的顶点坐标分别为
空间“综合”问题
复习引入
向量法解立体几何问题的优点: 1.思路容易找,甚至可以公式化； 一般充分结合图形发现向量关系或者求出 (找出)平面的法向量、直线的方向向量，利用这 些向量借助向量运算就可以解决问题. 2.不需要添辅助线和进行困难的几何证明; 3.若坐标系容易建立,更是水到渠成.
【课后作业】
∴由①②③可解得
, z)(0,1
x
, 0)
1
,
y
②
1
,
z
12 2
2 3
.
∴
F1
200(
1 ,1, 12 2
2) 3
同法可求得 F2 200(
1 ,1 , 12 2
2 3
)
,
F3
200(
1 ,0, 3
2) 3
合力 F1 F2 F3 200 (
1 ,1, 12 2
2) ( 3
1 ,1 , 12 2
d l2 m2 n2 2mncos
异面直线间的距离
已知a,b是异面直线，n为的 法向量
CD为a,b的公垂线
A，B分别在直线a,b上
则 | CD | n • AB |n|
b
n
C A
DB a
即 l1,l2 间的距离可转化为向量 CD 在n上的射影长，
例.已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, AC BC 2, BCA 900, E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面 OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。 求： (1)异面直线SA和OB所成的角的余 A 弦值 (2)OS与面SAB所成角的余弦值 x (3)二面角B－AS－O的余弦值
z
S
O
Cy
B
例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg，
（1）求MN的长；
（2）a 为何值时？MN的长最小？ C
（3）当MN的长最小时， 求面MNA与面MNB所成
D MB
二面角的余弦值。
N A
E F
4、如图6，在棱长为 a 的正方体OABC O' A' B'C' 中， E、F 分别是棱AB,BC上的动点，且 AE BF。 O’ C’ （1）求证：A'F C' E ；
（2）直线 BD与AC夹角的余弦值。
D
A
B
D
C
C
A
B
2) ( 3
1 ,0, 3
2 3
)
200(0
ห้องสมุดไป่ตู้,0
,
6)
这说明，作用在钢板的合力方向向上,大小为 200 6kg ,作用点为 O .
由于 200 6 500 ,所以钢板仍静止不动
要提起这块钢板,设 F1 F2 因此,要提起这块钢板,
F3 = x ,则需 6x 500 ,解得
F1
、
F2
、
F3
A(0,0 , 0), B(0,1, 0) ,C(
3 2
,
1 2
,
0)
设
F1
方向上的单位向量坐标为
(x
,
y
,
z)
，
由于 F1 与 AB , AC 的夹角均为 60 ，
∴
cos
60
1 (x, y , z)( 2
3 , 1 , 0)① 22
又∵ x2 y2 z2 1 ③
cos 60
1 (x, y 2
解： EF EA AA AF EF 2 (EA AA AF )2
2
2
2
EA AA AF 2(EA AA EA AF AA AF)
AA EA, AA AF < EA, AF >=π—θ（或θ），
l2
EA2
2
A A
AF 2
2EA
AF
m2 d 2 n2 2mncos
当E,F在公垂线同一侧时取负号 当d等于0是即为“余弦定理”
(1)求证：PA//平面EDB
(2)求证：PB⊥平面EFD
P
(3)求二面角C-PB-D的大小。
F
E
D
C
A B
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， 设DC=1
(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1),
Z
11
E(0, , ) 22
P
(
1, 3
1 , 6
1) • ( 1 , 63
6• 6 63
1 , 3
2) 3
1
6 1
3
1 2
所以EFD 60,即二面角 C PB D的大小为60.
1．如图 3-5，已知两条异面直线所成的角为θ，