向量法解立体几何1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量： 若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.⑵．平面的法向量： 若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.例1：在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量.2、用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行。

设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.例2： 四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形, PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=6, E 是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG.⑵线面平行。

设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=.例3：如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．求证：PB 1∥平面BDA 1；⑶面面平行。

若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=.例4：在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直。

设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=.例5：如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱1A A 上，点F 在侧棱1B B 上，且22A E =,2BF = 求证：1C F C E ⊥；⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=.②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则 例6：如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。

求证：AB 1⊥面A 1BD ；⑶面面垂直。

若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=.例7：如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB=600，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点。

证明平面PED ⊥平面PAB ；4、利用向量求空间角QMA BDCOP⑴求异面直线所成的角已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BDθ⋅=例8：如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点。

求异面直线AB 与MD 所成角的大小；⑵求直线和平面所成的角求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角 的余角.即有：cos s .in a u a uϕθ⋅==例9：在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，EF 分别是'',BC A D 的中点，求直线AD 与平面'B EDF 所成的角的余弦值，'DABCDEFG'A 'B'Cxyz⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l AO ⊥,β-l 的平面角.如图：求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： 如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==， 即arccosm n m nθ⋅=；如果θ是钝角，则cos cos m nm nθϕ⋅=-=-， 即arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=-⎪⎝⎭. 例10：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．5、利用法向量求空间距离 ⑴点Q 到直线l 距离若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a 为直线l 的方向向量，b =PQ ，则点Q 到直线l距离为 221(||||)()|h a b a b a =-⋅ ⑵点A 到平面α的距离若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP=n MP MP n MP⋅=⋅n MP n⋅=例11：设(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7),(5,4,8)A B C D --，求点D 到平面ABC 的距离⑶直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。

由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。

即.n MP d n⋅=例12：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3,2,AB BC CC ===求平面11A BC 与平面1ACD 的距离。

y⑷两平行平面,αβ之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。

即.n MP d n⋅=⑸异面直线间的距离设向量n 与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向上投影的绝对值。

即.n MP d n⋅=例13：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求异面直线11A C 与1AB 间的距离.y高考大题赏析：1、（2017年1卷18题）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥中，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，求二面角A PB C --的余弦值．2．（2018年1卷18题）△折如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC 起，使点C到达点P的位置，且PF BF⊥．⑴证明：平面PEF⊥平面ABFD；⑵求DP与平面ABFD所成角的正弦值．3（2019年1卷18题）（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB ＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．4．（2020年1卷18题）（12分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，66PO DO =．（1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值．例3：证明：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，(0,2,0)P ．（Ⅰ）在△P AA 1中有1112C D AA =，即1(0,1,)2D ． ∴1(1,0,1)A B =，1(0,1,)A D x =，1(1,2,0)B P =-． 设平面BA 1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ，则11110,10.2A B a c A D b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令1c =-，则11(1,,1)2=-n ． ∵1111(1)2(1)002B P ⋅=⨯-+⨯+-⨯=n ，∴PB 1∥平面BA 1D例4：证明：(1)以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .(2)由(1)知，E (0,0,3)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，4，F (0,1,4)，则EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，1，EF ＝(0,1,1)，1B D ·EG ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF . 又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .例5：证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,2,32),(0,0,22),(3,12)A B C C E F （Ⅰ）1(0,2,2),(3,12)C E CF =--=- 10220C E CF ⋅=+-=1.CF C E ∴⊥例6：解：取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(023)A ，，，03)A ，，， 1(120)B ，，，1(123)AB ∴=，，(210)BD =-，，，1(123)BA =-，，．xzA B CD1A 1C1BO Fy12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥．1AB ∴⊥平面1A BD ．例7：证明：∵面ABCD 是菱形，∠DAB=600，∴△ABD 是等边三角形，又E 是AB 中点，连结BD ∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900， 如图建立坐标系D-ECP ，设AD=AB=1，则PF=FD=12，∴ P （0，0，1），E，0，0），B ，12，0） ∴PB =（2，12，-1），PE = （2，0，-1）， 平面PED 的一个法向量为DC =（0，1，0） ，设平面PAB 的法向量为n =（x, y, 1)由11(,,1),1)010220(,,1)1)010x y x y x n PB n PE y x y x ⎧⎧•-=--=⎪⎧=⊥⎪⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⊥⎪⎪⎪⎩=•-=-=⎩⎪⎩ ∴n =∵DC ·n =0 即DC ⊥n ∴平面PED ⊥平面PAB例8：方法一（综合法）（1）CD ‖AB,MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角） 作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP,42ADPπ∠=∵∴DP =MD ==∵1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=∴所以 AB 与MD 所成角的大小为3π方法二(向量法)作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系222(0,0,0),(1,0,0),(0,,0),(,,0),(0,0,2),(0,0,1)222A B P D O M -,(1)设AB 与MD 所成的角为θ,22(1,0,0),(,,1)22AB MD ==--∵ 1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴ ,∴AB 与MD 所成角的大小为3π 例9：解：,ADE ADF ∠=∠所以AD 在平面'B EDF 内的射影在EDF ∠的平分线上，又'B EDF 为菱形，'DB ∴为EDF ∠的平分线，故直线AD 与平面'B EDF 所成的角为'ADB ∠，建立如图所示坐标系， 则'(0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a ，'(0,,0),(,,)DA a DB a a a ∴=-=-，'''3cos ,3DA DB DA DB DA DB •∴<>==• 故AD 与平面'B EDF 所成角为例10：解：如图建立直角坐标系，则1(0,1,0),(,0,0),(1,1,0),(0,0,1)2B D C S11(,0,0),(1,1,1),(,0,1)22AD SC SD ==-=-，,SA ABCD AD SAB ⊥∴⊥平面平面所以AD 是平面SAB 的一个法向量。