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概率论与数理统计B 习题五答案
B(200,0.05) ,如果
P{ X n } (
n2 0 0 0.05 n ) ( 200 0 . 05 0.95
1
10 ) 0, .90 9.5
西南交通大学 2018—2019 学年第(一)学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
得 (1.28) 0.90 ,所以
n n ln L p X i ln p n X i ln1 p i 1 i 1
令
X d ln L p i 1 i
n
dp p 1 p 可以看出 p 的矩估计量与最大似然估计量是相同的。
(2) E X 000) ,
, X10000
(i 1, 2,
10000
,10000) ,
索赔总金额不超过 2600000 元可表示为事件 {
10000 i 1
X
i 1
i
2600000} ,由中心极限定理有
P{ X i 2600000} (
2600000 10000 250 ) (2) 0.9772 。 10000 500
X np 15 np P X 15 P np1 p np 1 p 15 3 x3 p 3 0.999 1.73 1 6.93 0
2. 一保险公司有 1 万个投保人,每个投保人的索赔金额的数学期望为 250 元,标准差 为 500,求索赔金额不超过 260 万元的概率。 解: 设第 i 个投保人的索赔金额为随机变量 X i (i 1, 2, 独立同分布,且 E ( X i ) 250 , D( X i ) 500
f x
1x
0
0 x 1 其他
其中 0 未知,求 的矩估计和最大似然估计。 解: E X 0 x 1x dx
1
1 1 ˆ 1 2X , ,令 X ,故 的矩估计量为 2 2 X 1
X i
i 1
X i 0, i 1,2, , n 其他
0
n
ln L n ln X i d ln L n n Xi 0 d i 1
i 1
ˆ 解得 的最大似然估计量
n
Xi
i 1
n
1 。 X
可以看出 的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 11. 设 X 1 , X 2 , , X n 是取自总体 X 的一个样本,其中 X 服从参数为 的泊松分布,其 中 未知, 0 ,求 的矩估计与最大似然估计,如得到一组样本观测值: X 0 1 2 3 4 17 频数 求 的矩估计值与最大似然估计值。 20 10 2 1
ˆX 。 解: E X ,故 的矩估计量
由样本观测值可算得
X
另,X 的分布律为
0 17 1 20 2 10 3 2 4 1 1, 50
P X x e
x
x!
, x 0,1,2,
故似然函数为
L e n
第六章 样本及抽样分布:
7. 从正态总体 N 4.2,25 中抽取容量为 n 的样本,若要求其样本均值位于区间(2.2, 6.2)内的概率不小于 0.95,则样本容量 n 至少应该取多大? 解:由于
所以:
即:
由分布函数的单调性有:
可见,样本容量至少取 25。 8. 设 总 体 X
N ( , 4) , 有 样 本 X1 , X 2 ,
2(0.05 n ) 1 0.95 , (0.05 n ) 0.975 ,由 (1.96) 0.975 ,可得 0.05 n 1.96 ,
于是得 n 1536.6 ,即 n 1537 。 9. 设 X 1 , X 2 ,, X 5 是独立且服从相同分布的随机变量, 且每一个 X i i 1,2,,5 都服从
n Xi
i 1
n
ˆ 0 ,解得 p 的最大似然估计量 p
1 n Xi X 。 n i 1
1
,令
ˆ 1 。 X ,故 的矩估计量 X
1
另,X 的密度函数为
f X x
故似然函数为
e x
0
n
x0 x0
L
对数似然函数为
e
n
d ln L n d
Xi
i 1
n
0
ˆ 解得 的最大似然估计量
Xi
i 1
n
n
ˆ 1。 X ,故 的最大似然估计值
12. 设 X 1 , X 2 , , X n 是取自总体 X 的一个样本,其中 X 服从区间 0, 的均匀分布,其 中 0 未知,求 的矩估计,且 的矩估计是否是 的无偏估计? 解: E X
2
,令
2
ˆ 2X 。 X ,故 的矩估计量
1 n 2 n 2 n ˆ E 2 X 2 E X 2 E E X i EX i , n i 1 2 n i 1 n i 1
故 的矩估计量 2 X 是 的无偏估计。 13. 设 X 1 , X 2 , , X n 是取自总体 X 的一个样本,X 的密度函数为
m 60 ) 0.99 ,可得: 60 m 60 2.327 ,从而 m 60 2.237 7.746 78.023 60
所以最少需要 79 条线路。 5. 某供电站供应某地区 1000 户居民用电,各户用电情况相互独立。已知每户每日用电 量(单位:度)在[0,20]上均匀分布。问:供电站每天至少向该地区供应多少度电才能以 0.99 的概率保证该地区居民供应电量的需求? 解:用 Xi 表示居民每户每日的用电量,则 Xi 的密度函数为:
ˆX。 解: (1) E X p ,故 p 的矩估计量有 p
另,X 的分布律为 P X x p x 1 p
1 x
, x 0,1 ,故似然函数为
L p p
对数似然函数为:
i 1
Xi
n
1 p
4
n X i
i 1
n
西南交通大学 2018—2019 学年第(一)学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
n 10 1.28 ,解得 n 13.945 ,从而得 n 14 。 9.5
4. 设某电话总机要为 2000 个用户服务,在最忙时,平均每户有 3% 的时间占线,假设 各户是否打电话是相互独立的,试求若想以 99% 的可能性满足用户的要求,最少需要设多 少条线路? 解:设电话交换台每小时呼叫次数为 X ,在每小时每户用线的概率 P 0.03 ,由泊松 分布近似可取 np 2000 0.03 60 ,因此, X 服从参数 60 的泊松分布。 设要求的最小线路数为 m : P{0 X m} 0.99
X i
i 1
n
X 1! X n!
, X i 0,1,2, , i 1,2, , n
5
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对数似然函数为
n n ln L n X i ln ln X i ! i 1 i 1
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概率论与数理统计 B 习题五答案 A
第五章 中心极限定理:
1. 在人寿保险公司里有 3000 个同龄的人参加人寿保险。 在 1 年内每人的死亡率为 0.1%, 参加保险的人在 1 年的第一天交付保险费 10 元,死亡时家属可以从保险公司领取 2000 元。 试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。 解: 设死亡人数为 X , X ~ B3000,0.001 , 保险公司亏本当且仅当 2000 X 10 3000 , 即 X 15 。于是,由棣莫弗—拉普拉斯定理,公司亏本的概率为
E ( X ) 60 , D( X ) 60
由泊松分布的正态逼近可得:
t 1 m 60 60 m 60 60 2 P{0 X m} dt ( ) ( ) ( ) 0 60 e 2 60 60 60 60 m 60
2
根据题意 (
布,即 c 1 ;自由度为 2。
2 2 2 ( 2 ) 由 于 X1 X 2 ~ N 0, 2 , 则 X 1 X 2 ~ N 0,1 , 又 X 3 X4 X5 ~ 2 3 , 2
X1 X 2 2
2 2 与 X 32 X 4 相互独立,则 X5
2 N 0,1 。 (1)试给出常数 c ,使得 cX 12 X 2 (2)试给 服从 2 分布,并指出它的自由度;
出常数 d ,使得 d
X1 X 2
2 X3 2 2 X4 X5
服从 t 分布,并指出它的自由度。
2 解: (1) 易见,X 12 X 2 即为二个独立的服从 N 0,1 的随机变量平方和, 服从 2 2 分
从而:
令 X 表示该地区居民的用电量,则
所以:
于是若设供电站每天至少应供应 n 度电,则
2
西南交通大学 2018—2019 学年第(一)学期《概率论与数理统计 B》课程习题答案
6. 机器包装某种面包时,每袋面包的净重为随机变量,平均重量为 100 克,标准差为 10 克。一箱内装 200 袋面包,求一箱面包的净重大于 20500 克的概率。 解:设箱中第 i 袋面包的净重为 Xi,则 Xi 独立同分布,
X
即d